3.3 M´ ethode d’´ elimination de Gauss et factorisation LU
73
A
(k) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
(1)
11
a
(1)
12
. . . . . . . . . a
(1)
1n
0
a
(2)
22
a
(2)
2n
. . .
. . .
. . .
0
. . .
0 a
(k)
kk
. . . a
(k)
kn
. . .
. . .
. . .
. . .
0
. . .
0 a
(k)
nk
. . . a
(k)
nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
o` u on a suppos´ e a
(i)
ii = 0 pour i = 1, . . . , k − 1. Il est clair que pour k = n on
obtient alors le syst` eme triangulaire sup´ erieur A
(n) x = b
(n) suivant
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
(1)
11
a
(1)
12
. . . . . . a
(1)
1n
0
a
(2)
22
a
(2)
2n
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
0
a
(n)
nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
. . .
x n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
b
(1)
1
b
(2)
2
. . .
. . .
b
(n)
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Pour ˆ etre consistant avec les notations introduites pr´ ec´ edemment, on note U
la matrice triangulaire sup´ erieure A
(n) . Les termes a
(k)
kk sont appel´ es pivots et
doivent ˆ etre ´ evidemment non nuls pour k = 1, . . ., n − 1.
Afin d’expliciter les formules permettant de passer du k-i` eme syst` eme au
k + 1-i` eme, pour k = 1, . . ., n − 1, on suppose que a
(k)
kk = 0 et on d´ efinit les
multiplicateurs
m ik =
a
(k)
ik
a
(k)
kk
, i = k + 1, . . ., n.
(3.27)
On pose alors
a
(k+1)
ij
= a
(k)
ij − m ik a
(k)
kj , i,j = k + 1, . . . , n,
b
(k+1)
i
= b
(k)
i − m ik b
(k)
k , i = k + 1, . . . , n.
(3.28)
Exemple 3.1 Utilisons la m´ ethode de Gauss pour r´ esoudre le syst` eme suivant
(A
(1) x = b
(1) )
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x1 +
1
2
x2 +
1
3
x3 =
11
6
,
1
2
x1 +
1
3
x2 +
1
4
x3 =
13
12
,
1
3
x1 +
1
4
x2 +
1
5
x3 =
47
60
,
qui admet la solution x=(1, 1, 1)
T . A la premi` ere ´ etape, on calcule les multiplicateurs m21 = 1/2 et m31 = 1/3, et on soustrait de la deuxi` eme (resp. troisi` eme)
´ equation la premi` ere ligne multipli´ ee par m21 (resp. m31). On obtient le syst` eme