3.1 Analyse de stabilit´ e des syst` emes lin´ eaires
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Commen¸ cons par noter que K(A) ≥ 1 puisque
1 = AA
−1
≤ ≤A
−1
= K(A).
De plus, K(A
−1 ) = K(A) et ∀α ∈ C avec α = 0, K(αA) = K(A). Enfin, si
A est orthogonale, K 2 (A) = 1 puisque A 2 =
ρ(A T A) =
ρ(I) = 1 et
A
−1 = A
T . Par convention, le conditionnement d’une matrice singuli` ere est
infini.
Pour p = 2, K 2 (A) peut ˆ etre caract´ eris´ e comme suit. En partant de (1.22),
on peut montrer que
K 2 (A) = A 2 A
−1
2 =
σ 1 (A)
σ n (A)
,
o` u σ 1 (A) est la plus grande valeur singuli` ere de A et σ n (A) la plus petite (voir
Propri´ et´ e 1.6). Par cons´ equent, dans le cas d’une matrice sym´ etrique d´ efinie
positive, on a
K 2 (A) =
λ max
λ min
= ρ(A)ρ(A
−1 ),
(3.5)
o` u λ max est la plus grande valeur propre de A et λ min la plus petite. Pour
´ etablir (3.5), remarquer que
2 =
ρ(A T A) =
ρ(A 2 ) =
λ 2
max = λ max .
De plus, puisque λ(A
−1 ) = 1/λ(A), on obtient A
−1
2 = 1/λ min d’o` u l’on
d´ eduit (3.5). Pour cette raison, K 2 (A) est appel´ e conditionnement spectral.
Remarque 3.1 On d´ efinit la distance relative de A ∈ C
n×n ` a l’ensemble des
matrices singuli` eres, par rapport `
a la p-norme, par
dist p (A) = min
p
A p
: A + δA est singuli` ere
.
On peut alors montrer que ([Kah66], [Gas83])
dist p (A) =
1
K p (A)
.
(3.6)
L’´ equation (3.6) sugg` ere qu’une matrice ayant un conditionnement ´ elev´ e peut
se comporter comme une matrice singuli` ere de la forme A+δA. En d’autres
termes, mˆ eme si le membre de droite n’est pas perturb´ e, la solution peut l’ˆ etre,
puisque si A+δA est singuli` ere, le syst` eme homog` ene (A + δA)z = 0 n’admet
plus comme unique solution la solution nulle. On peut aussi montrer que si
−1
p δA p < 1,
(3.7)
alors A+δA est inversible (voir p.ex. [Atk89], th´ eor` eme 7.12).