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M´ ethodes directes pour la r´ esolution
des syst` emes lin´ eaires
Un syst` eme lin´ eaire de m ´ equations `
a n inconnues est un ensemble de relations
alg´ ebriques de la forme
n
j=1
a ij x j = b i , i = 1, . . . , m ,
(3.1)
o` u les x j sont les inconnues, les a ij les coefficients du syst` eme et les b i les
composantes du second membre. Il est commode d’´ ecrire le syst` eme (3.1) sous
la forme matricielle
Ax = b,
(3.2)
o` u on a not´ e A = (a ij ) ∈ C
m×n la matrice des coefficients, b=(b i ) ∈ C
m le
vecteur du second membre et x=(x i ) ∈ C
n le vecteur inconnu. On appelle
solution de (3.2) tout n-uple de valeurs x i qui satisfait (3.1).
Dans ce chapitre, nous traiterons surtout des syst` emes carr´ es d’ordre n ` a
coefficients r´ eels, c’est-` a-dire, de la forme (3.2) avec A ∈ R
n×n et b ∈ R
n .
Dans ce cas, on est assur´ e de l’existence et de l’unicit´ e de la solution de (3.2)
si une des conditions ´ equivalentes suivantes est remplie :
1. A est inversible ;
2. rg(A)=n ;
3. le syst` eme homog` ene Ax=0 admet seulement la solution nulle.
La solution du syst` eme (3.2) est donn´ ee – d’un point de vue th´ eorique – par
les formules de Cramer
x j =
∆ j
d´ et(A)
,
j = 1, . . . , n,
(3.3)
o` u ∆ j est le d´ eterminant de la matrice obtenue en rempla¸ cant la j-i` eme colonne de A par le second membre b. Cette formule est cependant d’une utilit´ e
pratique limit´ ee. En effet, si les d´ eterminants sont ´ evalu´ es par la relation de
M´ ethodes directes pour la r´ esolution
des syst` emes lin´ eaires
Un syst` eme lin´ eaire de m ´ equations `
a n inconnues est un ensemble de relations
alg´ ebriques de la forme
n
j=1
a ij x j = b i , i = 1, . . . , m ,
(3.1)
o` u les x j sont les inconnues, les a ij les coefficients du syst` eme et les b i les
composantes du second membre. Il est commode d’´ ecrire le syst` eme (3.1) sous
la forme matricielle
Ax = b,
(3.2)
o` u on a not´ e A = (a ij ) ∈ C
m×n la matrice des coefficients, b=(b i ) ∈ C
m le
vecteur du second membre et x=(x i ) ∈ C
n le vecteur inconnu. On appelle
solution de (3.2) tout n-uple de valeurs x i qui satisfait (3.1).
Dans ce chapitre, nous traiterons surtout des syst` emes carr´ es d’ordre n ` a
coefficients r´ eels, c’est-` a-dire, de la forme (3.2) avec A ∈ R
n×n et b ∈ R
n .
Dans ce cas, on est assur´ e de l’existence et de l’unicit´ e de la solution de (3.2)
si une des conditions ´ equivalentes suivantes est remplie :
1. A est inversible ;
2. rg(A)=n ;
3. le syst` eme homog` ene Ax=0 admet seulement la solution nulle.
La solution du syst` eme (3.2) est donn´ ee – d’un point de vue th´ eorique – par
les formules de Cramer
x j =
∆ j
d´ et(A)
,
j = 1, . . . , n,
(3.3)
o` u ∆ j est le d´ eterminant de la matrice obtenue en rempla¸ cant la j-i` eme colonne de A par le second membre b. Cette formule est cependant d’une utilit´ e
pratique limit´ ee. En effet, si les d´ eterminants sont ´ evalu´ es par la relation de