52
2 Les fondements du calcul scientifique
o` u
u =
1
2
β
1−t =
1
2
M
(2.34)
est appel´ e unit´ e d’arrondi (ou pr´ ecision machine).
On d´ eduit imm´ ediatement de (2.33) la majoration suivante de l’erreur relative
E rel (x) =
|x − fl(x)|
|x|
≤ u,
(2.35)
tandis qu’on a pour l’erreur absolue
E(x) = |x − fl(x)| ≤ β
e−t
|(a 1 . . . a t .a t+1 . . .) − (a 1 . . . ˜
a t )|.
D’apr` es (2.32),
|(a 1 . . . a t .a t+1 . . .) − (a 1 . . . ˜ a t )| ≤ β
−1 β
2
,
d’o` u
E(x) ≤
1
2
β
−t+e .
Remarque 2.4 Dans MATLAB, la valeur de M est donn´ ee par la variable
eps.
2.5.6 Op´ erations machines en virgule flottante
Comme on l’a dit pr´ ec´ edemment, il est n´ ecessaire de d´ efinir sur l’ensemble des
nombres machines une arithm´ etique, autant que possible analogue `
a l’arithm´ etique de R. Ainsi, pour une op´ eration arithm´ etique quelconque ◦ : R × R → R
entre deux op´ erandes de R (o` u le symbole ◦ peut d´ esigner l’addition, la soustraction, la multiplication ou la division) nous noterons ◦ l’op´ eration machine
correspondante d´ efinie par
◦ : R × R → F,
x ◦ y = fl(fl(x) ◦ fl(y)).
D’apr` es les propri´ et´ es des nombres ` a virgule flottante, on peut s’attendre `
a
avoir la propri´ et´ e suivante pour une op´ eration bien d´ efinie entre deux op´ erandes :
∀x, y ∈ F, ∃δ ∈ R tel que
x ◦ y = (x ◦ y)(1 + δ)
avec|δ| ≤ u.
(2.36)
Pour que la propri´ et´ e (2.36) soit satisfaite quand ◦ est l’op´ eration de soustraction, il faut faire une hypoth` ese suppl´ ementaire sur la structure des nombres
2 Les fondements du calcul scientifique
o` u
u =
1
2
β
1−t =
1
2
M
(2.34)
est appel´ e unit´ e d’arrondi (ou pr´ ecision machine).
On d´ eduit imm´ ediatement de (2.33) la majoration suivante de l’erreur relative
E rel (x) =
|x − fl(x)|
|x|
≤ u,
(2.35)
tandis qu’on a pour l’erreur absolue
E(x) = |x − fl(x)| ≤ β
e−t
|(a 1 . . . a t .a t+1 . . .) − (a 1 . . . ˜
a t )|.
D’apr` es (2.32),
|(a 1 . . . a t .a t+1 . . .) − (a 1 . . . ˜ a t )| ≤ β
−1 β
2
,
d’o` u
E(x) ≤
1
2
β
−t+e .
Remarque 2.4 Dans MATLAB, la valeur de M est donn´ ee par la variable
eps.
2.5.6 Op´ erations machines en virgule flottante
Comme on l’a dit pr´ ec´ edemment, il est n´ ecessaire de d´ efinir sur l’ensemble des
nombres machines une arithm´ etique, autant que possible analogue `
a l’arithm´ etique de R. Ainsi, pour une op´ eration arithm´ etique quelconque ◦ : R × R → R
entre deux op´ erandes de R (o` u le symbole ◦ peut d´ esigner l’addition, la soustraction, la multiplication ou la division) nous noterons ◦ l’op´ eration machine
correspondante d´ efinie par
◦ : R × R → F,
x ◦ y = fl(fl(x) ◦ fl(y)).
D’apr` es les propri´ et´ es des nombres ` a virgule flottante, on peut s’attendre `
a
avoir la propri´ et´ e suivante pour une op´ eration bien d´ efinie entre deux op´ erandes :
∀x, y ∈ F, ∃δ ∈ R tel que
x ◦ y = (x ◦ y)(1 + δ)
avec|δ| ≤ u.
(2.36)
Pour que la propri´ et´ e (2.36) soit satisfaite quand ◦ est l’op´ eration de soustraction, il faut faire une hypoth` ese suppl´ ementaire sur la structure des nombres