46
2 Les fondements du calcul scientifique
est appel´ ee repr´ esentation positionnelle de x dans la base β. Le point entre
x 0 et x −1 est appel´ e point d´ ecimal si la base est 10, point binaire si la base
est 2, et s d´ epend du signe de x (s = 0 si x est positif, 1 si x est n´ egatif). La
relation (2.26) signifie
x β = (−1)
s
n
k=−m
x k β
k
.
Exemple 2.10 L’´ ecriture x10 = 425.33 d´ esigne le r´ eel x = 4 · 10
2 + 2 · 10 + 5 + 3 ·
10
−1 +3·10
−2 , tandis que x6 = 425.33 d´ esigne le r´ eel x = 4·6
2 +2·6+5+3·6
−1 +3·6
−2 .
Un nombre rationnel peut avoir une infinit´ e de chiffres dans une base et un quantit´ e
finie de chiffres dans une autre base. Par exemple, la fraction 1/3 a une infinit´ e
de chiffres en base 10, x10 = 0. ¯ 3, tandis qu’elle a seulement un chiffre en base 3,
x3 = 0.1.
•
Tout nombre r´ eel peut ˆ etre approch´ e par des nombres ayant une repr´ esentation
finie. On a en effet, pour une base β fix´ ee, la propri´ et´ e suivante :
∀ε > 0, ∀x β ∈ R, ∃y β ∈ R tel que |y β − x β | < ε,
o` u y β a une repr´ esentation positionnelle finie.
En effet, ´ etant donn´ e le nombre positif x β = x n x n−1 . . . x 0 .x −1 . . . x −m . . .
comportant un nombre fini ou infini de chiffres, on peut construire, pour tout
r ≥ 1 deux nombres
x
(l)
β =
r−1
k=0
x n−k β
n−k , x
(u)
β = x
(l)
β + β
n−r+1 ,
ayant r chiffres, tels que x
(l)
β < x β < x
(u)
β
et x
(u)
β − x
(l)
β = β
n−r+1 . Si r est
choisi de mani` ere ` a ce que β
n−r+1 < <, on obtient alors l’in´ egalit´ e voulue
en prenant y β ´ egal ` a x
(l)
β ou x
(u)
β . Ce r´ esultat l´ egitime la repr´ esentation des
nombres r´ eels par un nombre fini de chiffres et donc leur repr´ esentation dans
les ordinateurs.
Bien que, d’un point de vue th´ eorique, toutes les bases soient ´ equivalentes,
les ordinateurs emploient en g´ en´ eral trois bases : la base 2 ou binaire, la base
10 ou d´ ecimale (la plus naturelle) et la base 16 ou hexad´ ecimale. Presque tous
les ordinateurs modernes utilisent la base 2, except´ es certains qui emploient
la base 16.
Dans la repr´ esentation binaire, les chiffres se r´ eduisent aux deux symboles
0 et 1, appel´ es bits (de l’anglais binary digits). En hexad´ ecimal les symboles
utilis´ es pour la repr´ esentation des chiffres sont 0,1,...,9,A,B,C,D,E,F. Clairement, plus petite est la base adopt´ ee, plus longue est la chaˆ ıne de caract` eres
n´ ecessaire ` a la repr´ esentation d’un mˆ eme nombre.
Afin de simplifier les notations, nous ´ ecrirons x au lieu de x β , sousentendant ainsi la base β.
2 Les fondements du calcul scientifique
est appel´ ee repr´ esentation positionnelle de x dans la base β. Le point entre
x 0 et x −1 est appel´ e point d´ ecimal si la base est 10, point binaire si la base
est 2, et s d´ epend du signe de x (s = 0 si x est positif, 1 si x est n´ egatif). La
relation (2.26) signifie
x β = (−1)
s
n
k=−m
x k β
k
.
Exemple 2.10 L’´ ecriture x10 = 425.33 d´ esigne le r´ eel x = 4 · 10
2 + 2 · 10 + 5 + 3 ·
10
−1 +3·10
−2 , tandis que x6 = 425.33 d´ esigne le r´ eel x = 4·6
2 +2·6+5+3·6
−1 +3·6
−2 .
Un nombre rationnel peut avoir une infinit´ e de chiffres dans une base et un quantit´ e
finie de chiffres dans une autre base. Par exemple, la fraction 1/3 a une infinit´ e
de chiffres en base 10, x10 = 0. ¯ 3, tandis qu’elle a seulement un chiffre en base 3,
x3 = 0.1.
•
Tout nombre r´ eel peut ˆ etre approch´ e par des nombres ayant une repr´ esentation
finie. On a en effet, pour une base β fix´ ee, la propri´ et´ e suivante :
∀ε > 0, ∀x β ∈ R, ∃y β ∈ R tel que |y β − x β | < ε,
o` u y β a une repr´ esentation positionnelle finie.
En effet, ´ etant donn´ e le nombre positif x β = x n x n−1 . . . x 0 .x −1 . . . x −m . . .
comportant un nombre fini ou infini de chiffres, on peut construire, pour tout
r ≥ 1 deux nombres
x
(l)
β =
r−1
k=0
x n−k β
n−k , x
(u)
β = x
(l)
β + β
n−r+1 ,
ayant r chiffres, tels que x
(l)
β < x β < x
(u)
β
et x
(u)
β − x
(l)
β = β
n−r+1 . Si r est
choisi de mani` ere ` a ce que β
n−r+1 < <, on obtient alors l’in´ egalit´ e voulue
en prenant y β ´ egal ` a x
(l)
β ou x
(u)
β . Ce r´ esultat l´ egitime la repr´ esentation des
nombres r´ eels par un nombre fini de chiffres et donc leur repr´ esentation dans
les ordinateurs.
Bien que, d’un point de vue th´ eorique, toutes les bases soient ´ equivalentes,
les ordinateurs emploient en g´ en´ eral trois bases : la base 2 ou binaire, la base
10 ou d´ ecimale (la plus naturelle) et la base 16 ou hexad´ ecimale. Presque tous
les ordinateurs modernes utilisent la base 2, except´ es certains qui emploient
la base 16.
Dans la repr´ esentation binaire, les chiffres se r´ eduisent aux deux symboles
0 et 1, appel´ es bits (de l’anglais binary digits). En hexad´ ecimal les symboles
utilis´ es pour la repr´ esentation des chiffres sont 0,1,...,9,A,B,C,D,E,F. Clairement, plus petite est la base adopt´ ee, plus longue est la chaˆ ıne de caract` eres
n´ ecessaire ` a la repr´ esentation d’un mˆ eme nombre.
Afin de simplifier les notations, nous ´ ecrirons x au lieu de x β , sousentendant ainsi la base β.