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8 Int´ egration num´ erique
Exemple 8.8 Utilisons l’int´ egration adaptative de Cavalieri-Simpson pour calculer
l’int´ egrale
I(f ) =
4
−3
tan
−1 (10x)dx
= 4tan
−1 (40) + 3tan
−1 (−30) − (1/20) log(16/9) 1.54201193.
En ex´ ecutant le Programme 65 avec tol = 10
−4 et hmin = 10
−3 , on obtient une
approximation de l’int´ egrale avec une erreur absolue environ ´ egale ` a 2.104 · 10
−5 .
L’algorithme effectue 77 ´ evaluations de la fonction, correspondant `
a une partition
non uniforme de l’intervalle [a, b] en 38 sous-intervalles. Notons qu’avec un pas de
maillage uniforme la formule composite correspondante requiert 128 sous-intervalles
pour une erreur absolue de 2.413 · 10
−5 .
Sur la Figure 8.4, on montre `
a gauche la distribution des noeuds de quadrature
trac´ es sur la courbe de la fonction `
a int´ egrer ; `
a droite, on montre la densit´ e des pas
d’int´ egration (constante par morceau) ∆h(x), d´ efinie comme l’inverse des pas h sur
chaque intervalle actif A. Remarquer la valeur ´ elev´ ee atteinte par ∆h en x = 0, l` a
o` u la d´ eriv´ ee de la fonction `
a int´ egrer est maximale.
•
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Fig. 8.4. Distribution des noeuds de quadrature (` a gauche); densit´ e des pas d’int´ egration pour l’approximation de l’int´ egrale de l’Exemple 8.8 (` a droite)
L’algorithme adaptatif qu’on vient de d´ ecrire est impl´ ement´ e en MATLAB
dans le Programme 65. Le param` etre d’entr´ ee hmin d´ esigne la plus petite valeur admissible du pas d’int´ egration. En sortie le programme renvoie la valeur
approch´ ee de l’int´ egrale JSF et l’ensemble des points d’int´ egration nodes.
Programme 65 - simpadpt : Int´ egrateur adaptatif avec la formule composite
de Cavalieri-Simpson
function [JSf,nodes]=simpadpt(f,a,b,tol,hmin,varargin)
%SIMPADPT Quadrature adaptative de Simpson.
% [JSF,NODES] = SIMPADPT(FUN,A,B,TOL,HMIN) tente d’approcher
% l’int´ egrale d’une fonction FUN sur ]A,B[ avec une erreur TOL
% en utilisant une quadrature de Simpson adaptative r´ ecursive.
8 Int´ egration num´ erique
Exemple 8.8 Utilisons l’int´ egration adaptative de Cavalieri-Simpson pour calculer
l’int´ egrale
I(f ) =
4
−3
tan
−1 (10x)dx
= 4tan
−1 (40) + 3tan
−1 (−30) − (1/20) log(16/9) 1.54201193.
En ex´ ecutant le Programme 65 avec tol = 10
−4 et hmin = 10
−3 , on obtient une
approximation de l’int´ egrale avec une erreur absolue environ ´ egale ` a 2.104 · 10
−5 .
L’algorithme effectue 77 ´ evaluations de la fonction, correspondant `
a une partition
non uniforme de l’intervalle [a, b] en 38 sous-intervalles. Notons qu’avec un pas de
maillage uniforme la formule composite correspondante requiert 128 sous-intervalles
pour une erreur absolue de 2.413 · 10
−5 .
Sur la Figure 8.4, on montre `
a gauche la distribution des noeuds de quadrature
trac´ es sur la courbe de la fonction `
a int´ egrer ; `
a droite, on montre la densit´ e des pas
d’int´ egration (constante par morceau) ∆h(x), d´ efinie comme l’inverse des pas h sur
chaque intervalle actif A. Remarquer la valeur ´ elev´ ee atteinte par ∆h en x = 0, l` a
o` u la d´ eriv´ ee de la fonction `
a int´ egrer est maximale.
•
−3
−2
−1
0
1
2
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−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
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2
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Fig. 8.4. Distribution des noeuds de quadrature (` a gauche); densit´ e des pas d’int´ egration pour l’approximation de l’int´ egrale de l’Exemple 8.8 (` a droite)
L’algorithme adaptatif qu’on vient de d´ ecrire est impl´ ement´ e en MATLAB
dans le Programme 65. Le param` etre d’entr´ ee hmin d´ esigne la plus petite valeur admissible du pas d’int´ egration. En sortie le programme renvoie la valeur
approch´ ee de l’int´ egrale JSF et l’ensemble des points d’int´ egration nodes.
Programme 65 - simpadpt : Int´ egrateur adaptatif avec la formule composite
de Cavalieri-Simpson
function [JSf,nodes]=simpadpt(f,a,b,tol,hmin,varargin)
%SIMPADPT Quadrature adaptative de Simpson.
% [JSF,NODES] = SIMPADPT(FUN,A,B,TOL,HMIN) tente d’approcher
% l’int´ egrale d’une fonction FUN sur ]A,B[ avec une erreur TOL
% en utilisant une quadrature de Simpson adaptative r´ ecursive.