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8 Int´ egration num´ erique
On d´ eduit de (8.16) que
I f (α, β) − S f (α, β) = −
h
5
0
90
f
(4) (ξ),
(8.37)
o` u ξ est un point de ]α, β[. Pour estimer l’erreur I f (α, β)−S f (α, β) sans utiliser
explicitement la fonction f
(4) , on utilise `
a nouveau la formule de CavalieriSimpson sur la r´ eunion des deux sous-intervalles [α, (α+β)/2] et [(α+β)/2, β],
obtenant ainsi, pour h = h 0 /2 = (β − α)/4,
I f (α, β) − S f,2 (α, β) = −
(h 0 /2)
5
90
f
(4) (ξ) + f
(4) (η)
,
o` u ξ ∈]α, (α + β)/2[, η ∈](α + β)/2, β[ et S f,2 (α, β) = S f (α, (α + β)/2) +
S f ((α + β)/2, β).
Faisons ` a pr´ esent l’hypoth` ese que f
(4) (ξ) f
(4) (η) (ce qui n’est vrai en
g´ en´ eral que si la fonction f
(4) ne varie “pas trop” sur [α, β]). Alors,
I f (α, β) − S f,2 (α, β) −
1
16
h
5
0
90
f
(4) (ξ),
(8.38)
o` u l’erreur est r´ eduite d’un facteur 16 par rapport `
a (8.37) qui correspond
` a une longueur h deux fois plus grande. En comparant (8.37) et (8.38), on
obtient l’estimation
(h
5
0 /90)f
(4) (ξ) (16/15)E f (α, β),
o` u E f (α, β) = S f (α, β) − S f,2 (α, β). On d´ eduit alors de (8.38) que
|I f (α, β) − S f,2 (α, β)| |
|E f (α, β)|
15
.
(8.39)
On a ainsi obtenu une formule permettant un calcul simple de l’erreur commise en utilisant la formule composite d’int´ egration num´ erique de CavalieriSimpson sur l’intervalle [α, β]. La relation (8.39), ainsi que (8.35), est un nouvel
exemple d’estimation d’erreur a posteriori. Ces relations combinent l’utilisation d’une estimation a priori (dans ce cas (8.16)) et de deux ´ evaluations
de la quantit´ e ` a approcher (l’int´ egrale I(f)) pour deux valeurs diff´ erentes du
param` etre de discr´ etisation h.
Dans la pratique, il peut ˆ etre prudent d’utiliser plutˆ ot la formule d’estimation d’erreur suivante
|I f (α, β) − S f,2 (α, β)| | |E f (α, β)|/10.
De plus, pour assurer une pr´ ecision globale sur [a, b] avec une tol´ erance fix´ ee ε,
il suffira d’imposer `
a l’erreur E f (α, β) de satisfaire sur chaque sous-intervalle
[α, β] ⊆ [a, b] la contrainte suivante
|E f (α, β)|
10
≤ ε
β − α
b − a
.
(8.40)
L’algorithme adaptatif d’int´ egration automatique peut ˆ etre d´ ecrit comme suit.
On note :
8 Int´ egration num´ erique
On d´ eduit de (8.16) que
I f (α, β) − S f (α, β) = −
h
5
0
90
f
(4) (ξ),
(8.37)
o` u ξ est un point de ]α, β[. Pour estimer l’erreur I f (α, β)−S f (α, β) sans utiliser
explicitement la fonction f
(4) , on utilise `
a nouveau la formule de CavalieriSimpson sur la r´ eunion des deux sous-intervalles [α, (α+β)/2] et [(α+β)/2, β],
obtenant ainsi, pour h = h 0 /2 = (β − α)/4,
I f (α, β) − S f,2 (α, β) = −
(h 0 /2)
5
90
f
(4) (ξ) + f
(4) (η)
,
o` u ξ ∈]α, (α + β)/2[, η ∈](α + β)/2, β[ et S f,2 (α, β) = S f (α, (α + β)/2) +
S f ((α + β)/2, β).
Faisons ` a pr´ esent l’hypoth` ese que f
(4) (ξ) f
(4) (η) (ce qui n’est vrai en
g´ en´ eral que si la fonction f
(4) ne varie “pas trop” sur [α, β]). Alors,
I f (α, β) − S f,2 (α, β) −
1
16
h
5
0
90
f
(4) (ξ),
(8.38)
o` u l’erreur est r´ eduite d’un facteur 16 par rapport `
a (8.37) qui correspond
` a une longueur h deux fois plus grande. En comparant (8.37) et (8.38), on
obtient l’estimation
(h
5
0 /90)f
(4) (ξ) (16/15)E f (α, β),
o` u E f (α, β) = S f (α, β) − S f,2 (α, β). On d´ eduit alors de (8.38) que
|I f (α, β) − S f,2 (α, β)| |
|E f (α, β)|
15
.
(8.39)
On a ainsi obtenu une formule permettant un calcul simple de l’erreur commise en utilisant la formule composite d’int´ egration num´ erique de CavalieriSimpson sur l’intervalle [α, β]. La relation (8.39), ainsi que (8.35), est un nouvel
exemple d’estimation d’erreur a posteriori. Ces relations combinent l’utilisation d’une estimation a priori (dans ce cas (8.16)) et de deux ´ evaluations
de la quantit´ e ` a approcher (l’int´ egrale I(f)) pour deux valeurs diff´ erentes du
param` etre de discr´ etisation h.
Dans la pratique, il peut ˆ etre prudent d’utiliser plutˆ ot la formule d’estimation d’erreur suivante
|I f (α, β) − S f,2 (α, β)| | |E f (α, β)|/10.
De plus, pour assurer une pr´ ecision globale sur [a, b] avec une tol´ erance fix´ ee ε,
il suffira d’imposer `
a l’erreur E f (α, β) de satisfaire sur chaque sous-intervalle
[α, β] ⊆ [a, b] la contrainte suivante
|E f (α, β)|
10
≤ ε
β − α
b − a
.
(8.40)
L’algorithme adaptatif d’int´ egration automatique peut ˆ etre d´ ecrit comme suit.
On note :