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8 Int´ egration num´ erique
de quadrature sur chaque sous-intervalle et la longueur constante de chaque
sous-intervalle. En doublant la valeur de m (i.e. en divisant H par deux) et
en proc´ edant par extrapolation, on a
I(f) − I n,2m (f)
1
2 n+p [I(f) − I n,m (f)] .
(8.34)
On a utilis´ e au lieu de = car les points ξ et η o` u on ´ evalue la d´ eriv´ ee
dans (8.26) et (8.27) changent quand on passe de m ` a 2m sous-intervalles. La
relation (8.34) donne
I(f) I n,2m (f) +
I n,2m (f) − I n,m (f)
2 n+p − 1
,
d’o` u on d´ eduit l’estimation de l’erreur absolue pour I n,2m (f) :
I(f) − I n,2m (f)
I n,2m (f) − I n,m (f)
2 n+p − 1
.
(8.35)
Si on consid` ere la formule composite de Simpson (i.e. n = 2), (8.35) pr´ edit
une r´ eduction d’un facteur 15 de l’erreur absolue quand on passe de m ` a 2m
sous-intervalles. Noter qu’il n’y a que 2
m−1 ´ evaluations suppl´ ementaires de
la fonction pour calculer la nouvelle approximation I 1,2m (f) en partant de
I 1,m (f). La relation (8.35) est un exemple d’estimation d’erreur a posteriori
(voir Chapitre 2, Section 2.3). Elle est bas´ ee sur l’utilisation combin´ ee d’une
estimation a priori (dans ce cas (8.26) ou (8.27)) et de deux ´ evaluations de
la quantit´ e ` a approcher (l’int´ egrale I(f)) pour deux valeurs diff´ erentes du
param` etre de discr´ etisation H.
Exemple 8.7 Utilisons l’estimation a posteriori (8.35) dans le cas de la formule
composite de Simpson (n = p = 2), pour l’approximation de l’int´ egrale
π
0
(e
x/2 + cos 4x)dx = 2(e
π − 1) 7.621
avec une erreur absolue inf´ erieure `
a 10
−4 . Pour k = 0, 1, . . ., posons hk = (b − a)/2
k
et notons I 2,m(k) (f ) l’int´ egrale de f calcul´ ee avec la formule composite de Simpson
sur une grille de pas hk comportant m(k) = 2
k intervalles. On peut alors prendre la
quantit´ e suivante comme estimation de l’erreur de quadrature
|E
V
k | = |I(f ) − I 2,m(k) (f )| |
1
10
|I 2,2m(k) (f ) − I 2,m(k) (f )| = |Ek|,
k≥ 1. (8.36)
La Table 8.10 montre la suite des estimations d’erreur |Ek| et les erreurs absolues
correspondantes |E
V
k | qui ont ´ et´ e effectivement observ´ ees dans l’int´ egration num´ erique. Remarquer qu’une fois que le calcul a converg´ e, l’erreur estim´ ee par (8.36) est
nettement plus ´ elev´ ee que l’erreur observ´ ee.
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8 Int´ egration num´ erique
de quadrature sur chaque sous-intervalle et la longueur constante de chaque
sous-intervalle. En doublant la valeur de m (i.e. en divisant H par deux) et
en proc´ edant par extrapolation, on a
I(f) − I n,2m (f)
1
2 n+p [I(f) − I n,m (f)] .
(8.34)
On a utilis´ e au lieu de = car les points ξ et η o` u on ´ evalue la d´ eriv´ ee
dans (8.26) et (8.27) changent quand on passe de m ` a 2m sous-intervalles. La
relation (8.34) donne
I(f) I n,2m (f) +
I n,2m (f) − I n,m (f)
2 n+p − 1
,
d’o` u on d´ eduit l’estimation de l’erreur absolue pour I n,2m (f) :
I(f) − I n,2m (f)
I n,2m (f) − I n,m (f)
2 n+p − 1
.
(8.35)
Si on consid` ere la formule composite de Simpson (i.e. n = 2), (8.35) pr´ edit
une r´ eduction d’un facteur 15 de l’erreur absolue quand on passe de m ` a 2m
sous-intervalles. Noter qu’il n’y a que 2
m−1 ´ evaluations suppl´ ementaires de
la fonction pour calculer la nouvelle approximation I 1,2m (f) en partant de
I 1,m (f). La relation (8.35) est un exemple d’estimation d’erreur a posteriori
(voir Chapitre 2, Section 2.3). Elle est bas´ ee sur l’utilisation combin´ ee d’une
estimation a priori (dans ce cas (8.26) ou (8.27)) et de deux ´ evaluations de
la quantit´ e ` a approcher (l’int´ egrale I(f)) pour deux valeurs diff´ erentes du
param` etre de discr´ etisation H.
Exemple 8.7 Utilisons l’estimation a posteriori (8.35) dans le cas de la formule
composite de Simpson (n = p = 2), pour l’approximation de l’int´ egrale
π
0
(e
x/2 + cos 4x)dx = 2(e
π − 1) 7.621
avec une erreur absolue inf´ erieure `
a 10
−4 . Pour k = 0, 1, . . ., posons hk = (b − a)/2
k
et notons I 2,m(k) (f ) l’int´ egrale de f calcul´ ee avec la formule composite de Simpson
sur une grille de pas hk comportant m(k) = 2
k intervalles. On peut alors prendre la
quantit´ e suivante comme estimation de l’erreur de quadrature
|E
V
k | = |I(f ) − I 2,m(k) (f )| |
1
10
|I 2,2m(k) (f ) − I 2,m(k) (f )| = |Ek|,
k≥ 1. (8.36)
La Table 8.10 montre la suite des estimations d’erreur |Ek| et les erreurs absolues
correspondantes |E
V
k | qui ont ´ et´ e effectivement observ´ ees dans l’int´ egration num´ erique. Remarquer qu’une fois que le calcul a converg´ e, l’erreur estim´ ee par (8.36) est
nettement plus ´ elev´ ee que l’erreur observ´ ee.
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