244
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
Nous noterons J F (x) la matrice jacobienne associ´ ee ` a F et ´ evalu´ ee au point
x = [x 1 , . . ., x n ]
T de R
n , c’est-` a-dire la matrice de coefficients
(J F (x)) ij =
∂F i
∂x j
(x),
i,j = 1, . . . , n.
Pour une norme vectorielle donn´ ee · ·, nous d´ esignerons la boule ouverte de
rayon R et de centre x
∗ par B(x
∗ ; R) = {y ∈ R
n : y − x
∗
< R} .
6.7.1 La m´ ethode de Newton et ses variantes
On peut ´ etendre la m´ ethode de Newton (6.16) au cas vectoriel :
´ etant donn´ e x
(0)
∈ R
n , pour k = 0, 1, . . ., jusqu’` a convergence :
r´ esoudre J F (x
(k) )δx
(k) = −F(x
(k) ),
poser
x
(k+1) = x
(k) + δx
(k) .
(6.42)
On doit donc r´ esoudre un syst` eme lin´ eaire de matrice J F (x
(k) ) `
a chaque it´ eration k.
Exemple 6.11 Consid´ erons le syst` eme non lin´ eaire e
x
2
1 +x
2
2 − 1 = 0, e
x
2
1 −x
2
2 − 1 = 0,
qui admet pour unique solution x
∗ = 0. Dans ce cas, F(x) = [e
x 2
1 +x 2
2 − 1, e
x 2
1 −x 2
2 − 1].
En ex´ ecutant le Programme 53 (m´ ethode de Newton) avec x
(0) = [0.1, 0.1]
T , et
(k) 2 ≤ 10
−10 comme test d’arrˆ et, on obtient en 26 it´ erations le couple [0.13 ·
10
−8 , 0.13 · 10
−8 ]
T , ce qui d´ emontre une convergence assez rapide. Le comportement
est cependant tr` es sensible au choix de la donn´ ee initiale. Par exemple, en prenant
x
(0) = [10, 10]
T , 229 it´ erations sont n´ ecessaires pour obtenir une solution comparable
` a la pr´ ec´ edente, tandis que la m´ ethode diverge si x
(0) = [20, 20]
T .
•
L’exemple pr´ ec´ edent met en ´ evidence la grande sensibilit´ e de la m´ ethode
de Newton au choix de la donn´ ee initiale x
(0) . On a le r´ esultat de convergence
locale suivant :
Th´ eor` eme 6.2 Soit F : R
n
→ R
n une fonction de classe C
1 sur un ouvert
convexe D de R
n qui contient x
∗ . Supposons que J
−1
F (x
∗ ) existe et qu’il existe
des constantes R, C et L telles que J
−1
F (x
∗ ) ≤ C et
F (x) − J F (y) ≤ Lx − y ∀x, y ∈ B(x
∗ ; R),
o` u on a not´ e par le mˆ eme symbole · · une norme vectorielle et une norme
matricielle consistante. Il existe alors r > 0 tel que, pour tout x
(0)
∈ B(x
∗ ; r),
la suite (6.42) est d´ efinie de fa¸ con unique et converge vers x
∗ avec
(k+1)
− x
∗
≤ CLx
(k)
− x
∗
2 .
(6.43)
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
Nous noterons J F (x) la matrice jacobienne associ´ ee ` a F et ´ evalu´ ee au point
x = [x 1 , . . ., x n ]
T de R
n , c’est-` a-dire la matrice de coefficients
(J F (x)) ij =
∂F i
∂x j
(x),
i,j = 1, . . . , n.
Pour une norme vectorielle donn´ ee · ·, nous d´ esignerons la boule ouverte de
rayon R et de centre x
∗ par B(x
∗ ; R) = {y ∈ R
n : y − x
∗
< R} .
6.7.1 La m´ ethode de Newton et ses variantes
On peut ´ etendre la m´ ethode de Newton (6.16) au cas vectoriel :
´ etant donn´ e x
(0)
∈ R
n , pour k = 0, 1, . . ., jusqu’` a convergence :
r´ esoudre J F (x
(k) )δx
(k) = −F(x
(k) ),
poser
x
(k+1) = x
(k) + δx
(k) .
(6.42)
On doit donc r´ esoudre un syst` eme lin´ eaire de matrice J F (x
(k) ) `
a chaque it´ eration k.
Exemple 6.11 Consid´ erons le syst` eme non lin´ eaire e
x
2
1 +x
2
2 − 1 = 0, e
x
2
1 −x
2
2 − 1 = 0,
qui admet pour unique solution x
∗ = 0. Dans ce cas, F(x) = [e
x 2
1 +x 2
2 − 1, e
x 2
1 −x 2
2 − 1].
En ex´ ecutant le Programme 53 (m´ ethode de Newton) avec x
(0) = [0.1, 0.1]
T , et
(k) 2 ≤ 10
−10 comme test d’arrˆ et, on obtient en 26 it´ erations le couple [0.13 ·
10
−8 , 0.13 · 10
−8 ]
T , ce qui d´ emontre une convergence assez rapide. Le comportement
est cependant tr` es sensible au choix de la donn´ ee initiale. Par exemple, en prenant
x
(0) = [10, 10]
T , 229 it´ erations sont n´ ecessaires pour obtenir une solution comparable
` a la pr´ ec´ edente, tandis que la m´ ethode diverge si x
(0) = [20, 20]
T .
•
L’exemple pr´ ec´ edent met en ´ evidence la grande sensibilit´ e de la m´ ethode
de Newton au choix de la donn´ ee initiale x
(0) . On a le r´ esultat de convergence
locale suivant :
Th´ eor` eme 6.2 Soit F : R
n
→ R
n une fonction de classe C
1 sur un ouvert
convexe D de R
n qui contient x
∗ . Supposons que J
−1
F (x
∗ ) existe et qu’il existe
des constantes R, C et L telles que J
−1
F (x
∗ ) ≤ C et
F (x) − J F (y) ≤ Lx − y ∀x, y ∈ B(x
∗ ; R),
o` u on a not´ e par le mˆ eme symbole · · une norme vectorielle et une norme
matricielle consistante. Il existe alors r > 0 tel que, pour tout x
(0)
∈ B(x
∗ ; r),
la suite (6.42) est d´ efinie de fa¸ con unique et converge vers x
∗ avec
(k+1)
− x
∗
≤ CLx
(k)
− x
∗
2 .
(6.43)