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6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
l’algorithme de Newton adaptatif :
x
(k+1) = x
(k)
− m
(k) f(x
(k) )
f (x (k) )
,
k≥ 2,
(6.39)
o` u on a pos´ e
m
(k) =
1
1 − λ (k) =
x
(k−1)
− x
(k−2)
2x (k−1) − x (k) − x (k−2) .
(6.40)
Exemple 6.10 V´ erifions les performances de la m´ ethode de Newton sous les trois
formes pr´ esent´ ees jusqu’` a pr´ esent (standard (6.16), modifi´ ee (6.23) et adaptative
(6.39)), pour approcher le z´ ero multiple α = 1 de la fonction f (x) = (x
2 − 1)
p log x
(pour p ≥ 1 et x > 0). La racine est de multiplicit´ e m = p + 1. On a consid´ er´ e les
valeurs p = 2, 4, 6 et dans tous les cas x
(0) = 0.8, tol=10
−10 .
Les r´ esultats obtenus sont r´ esum´ es dans la Table 6.7, o` u on a indiqu´ e, pour
chaque m´ ethode, le nombre nit d’it´ erations n´ ecessaire ` a la convergence. Dans le cas
de la m´ ethode adaptative, en plus de nit, on a indiqu´ e entre parenth` eses l’estimation
m
(n it ) de la multiplicit´ e m fournie par le Programme 52.
•
Table 6.7. Solution du probl` eme (x
2 − 1)
p log x = 0 sur l’intervalle [0.5, 1.5], avec
p = 2, 4, 6
m standard adaptative modifi´ ee
3
51
13 (2.9860)
4
5
90
16 (4.9143)
5
7
127
18 (6.7792)
5
Dans l’Exemple 6.10, la m´ ethode de Newton adaptative converge plus rapidement que la m´ ethode standard, mais moins rapidement que la m´ ethode de
Newton modifi´ ee. On doit cependant noter que la m´ ethode adaptative fournit
en plus une bonne estimation de la multiplicit´ e de la racine, ce qui peut ˆ etre
utilis´ e avec profit dans un proc´ ed´ e de d´ eflation pour approcher les racines d’un
polynˆ ome.
L’algorithme (6.39), avec l’estimation adaptative (6.40) de la multiplicit´ e de
la racine, est impl´ ement´ e dans le Programme 52. Pour ´ eviter l’apparition
d’instabilit´ es num´ eriques, on effectue la mise ` a jour de m
(k) seulement quand
la variation entre deux it´ erations cons´ ecutives a suffisamment diminu´ e. Les
param` etres en entr´ ee et en sortie sont les mˆ emes que pour les pr´ ec´ edents
programmes de ce chapitre.
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
l’algorithme de Newton adaptatif :
x
(k+1) = x
(k)
− m
(k) f(x
(k) )
f (x (k) )
,
k≥ 2,
(6.39)
o` u on a pos´ e
m
(k) =
1
1 − λ (k) =
x
(k−1)
− x
(k−2)
2x (k−1) − x (k) − x (k−2) .
(6.40)
Exemple 6.10 V´ erifions les performances de la m´ ethode de Newton sous les trois
formes pr´ esent´ ees jusqu’` a pr´ esent (standard (6.16), modifi´ ee (6.23) et adaptative
(6.39)), pour approcher le z´ ero multiple α = 1 de la fonction f (x) = (x
2 − 1)
p log x
(pour p ≥ 1 et x > 0). La racine est de multiplicit´ e m = p + 1. On a consid´ er´ e les
valeurs p = 2, 4, 6 et dans tous les cas x
(0) = 0.8, tol=10
−10 .
Les r´ esultats obtenus sont r´ esum´ es dans la Table 6.7, o` u on a indiqu´ e, pour
chaque m´ ethode, le nombre nit d’it´ erations n´ ecessaire ` a la convergence. Dans le cas
de la m´ ethode adaptative, en plus de nit, on a indiqu´ e entre parenth` eses l’estimation
m
(n it ) de la multiplicit´ e m fournie par le Programme 52.
•
Table 6.7. Solution du probl` eme (x
2 − 1)
p log x = 0 sur l’intervalle [0.5, 1.5], avec
p = 2, 4, 6
m standard adaptative modifi´ ee
3
51
13 (2.9860)
4
5
90
16 (4.9143)
5
7
127
18 (6.7792)
5
Dans l’Exemple 6.10, la m´ ethode de Newton adaptative converge plus rapidement que la m´ ethode standard, mais moins rapidement que la m´ ethode de
Newton modifi´ ee. On doit cependant noter que la m´ ethode adaptative fournit
en plus une bonne estimation de la multiplicit´ e de la racine, ce qui peut ˆ etre
utilis´ e avec profit dans un proc´ ed´ e de d´ eflation pour approcher les racines d’un
polynˆ ome.
L’algorithme (6.39), avec l’estimation adaptative (6.40) de la multiplicit´ e de
la racine, est impl´ ement´ e dans le Programme 52. Pour ´ eviter l’apparition
d’instabilit´ es num´ eriques, on effectue la mise ` a jour de m
(k) seulement quand
la variation entre deux it´ erations cons´ ecutives a suffisamment diminu´ e. Les
param` etres en entr´ ee et en sortie sont les mˆ emes que pour les pr´ ec´ edents
programmes de ce chapitre.