6.4 Racines des ´ equations alg´ ebriques
231
Table 6.2. Racines du polynˆ ome p5 calcul´ ees avec la m´ ethode de Newton-Horner
sans raffinement (` a gauche, m´ ethode Nwt), et avec raffinement (` a droite, m´ ethode
NwtRef)
(a)
r j
Nit
0.99999348047830
17
1 − i3.56 · 10
−25
6
2 − i2.24 · 10
−13
9
−2 − i1.70 · 10
−10
7
−3 + i5.62 · 10
−6
1
(b)
s j
Nit Extra
0.9999999899210124
17
10
1 − i2.40 · 10
−28
6
10
2 + i1.12 · 10
−22
9
1
−2 + i8.18 · 10
−22
7
1
−3 − i7.06 · 10
−21
1
2
Les z´ eros de p6 sont les nombres complexes {1, −1, 1 ± i, ±2i}. Nous rapportons cidessous les approximations des racines de p6, not´ ees rj , (j = 1, . . . , 6), obtenues avec
la m´ ethode Nwt, apr` es un nombre d’it´ erations ´ egal `
a 2, 1, 1, 7, 7 et 1, respectivement.
Nous donnons ´ egalement les approximations sj calcul´ ees par la m´ ethode NwtRef
obtenues avec un maximum de deux it´ erations suppl´ ementaires.
•
Un code MATLAB de l’algorithme de Newton-Horner est propos´ e dans
le Programme 49. Les param` etres d’entr´ ee sont A (un vecteur contenant les
coefficients du polynˆ ome), n (le degr´ e du polynˆ ome), tol (la tol´ erance sur la
variation maximale entre deux it´ er´ ees cons´ ecutives de la m´ ethode de Newton),
x0 (la valeur initiale, avec x
(0)
∈ R), nmax (nombre maximum d’it´ erations pour
la m´ ethode de Newton) et iref (si iref = 1 alors la proc´ edure de raffinement
est activ´ ee). Pour traiter le cas g´ en´ eral des racines complexes, la donn´ ee initiale
est automatiquement convertie en un nombre complexe z = x
(0) + ix
(0) .
Le programme renvoie en sortie les variables xn (un vecteur contenant la
suite des it´ er´ ees correspondant ` a chaque z´ ero de p n (x)), iter (un vecteur
contenant le nombre d’it´ erations effectu´ ees pour approcher chaque racine),
itrefin (un vecteur contenant le nombre d’it´ erations de Newton effectu´ ees
pour le raffinement de chaque racine) et root (un vecteur contenant les racines
calcul´ ees).
Table 6.3. Racines du polynˆ ome p6 obtenues avec la m´ ethode de Newton-Horner
sans raffinement (` a gauche) et avec raffinement (` a droite)
r j
Nwt
s j
NwtRef
r 1
1
s 1
1
r 2 −0.99 − i9.54 · 10
−17
s 2 −1 + i1.23 · 10
−32
r 3
1+i
s 3
1+i
r 4
1-i
s 4
1-i
r 5
-1.31 · 10
−8 + i2
s 5 −5.66 · 10
−17 + i2
r 6
-i2
s 6
-i2
231
Table 6.2. Racines du polynˆ ome p5 calcul´ ees avec la m´ ethode de Newton-Horner
sans raffinement (` a gauche, m´ ethode Nwt), et avec raffinement (` a droite, m´ ethode
NwtRef)
(a)
r j
Nit
0.99999348047830
17
1 − i3.56 · 10
−25
6
2 − i2.24 · 10
−13
9
−2 − i1.70 · 10
−10
7
−3 + i5.62 · 10
−6
1
(b)
s j
Nit Extra
0.9999999899210124
17
10
1 − i2.40 · 10
−28
6
10
2 + i1.12 · 10
−22
9
1
−2 + i8.18 · 10
−22
7
1
−3 − i7.06 · 10
−21
1
2
Les z´ eros de p6 sont les nombres complexes {1, −1, 1 ± i, ±2i}. Nous rapportons cidessous les approximations des racines de p6, not´ ees rj , (j = 1, . . . , 6), obtenues avec
la m´ ethode Nwt, apr` es un nombre d’it´ erations ´ egal `
a 2, 1, 1, 7, 7 et 1, respectivement.
Nous donnons ´ egalement les approximations sj calcul´ ees par la m´ ethode NwtRef
obtenues avec un maximum de deux it´ erations suppl´ ementaires.
•
Un code MATLAB de l’algorithme de Newton-Horner est propos´ e dans
le Programme 49. Les param` etres d’entr´ ee sont A (un vecteur contenant les
coefficients du polynˆ ome), n (le degr´ e du polynˆ ome), tol (la tol´ erance sur la
variation maximale entre deux it´ er´ ees cons´ ecutives de la m´ ethode de Newton),
x0 (la valeur initiale, avec x
(0)
∈ R), nmax (nombre maximum d’it´ erations pour
la m´ ethode de Newton) et iref (si iref = 1 alors la proc´ edure de raffinement
est activ´ ee). Pour traiter le cas g´ en´ eral des racines complexes, la donn´ ee initiale
est automatiquement convertie en un nombre complexe z = x
(0) + ix
(0) .
Le programme renvoie en sortie les variables xn (un vecteur contenant la
suite des it´ er´ ees correspondant ` a chaque z´ ero de p n (x)), iter (un vecteur
contenant le nombre d’it´ erations effectu´ ees pour approcher chaque racine),
itrefin (un vecteur contenant le nombre d’it´ erations de Newton effectu´ ees
pour le raffinement de chaque racine) et root (un vecteur contenant les racines
calcul´ ees).
Table 6.3. Racines du polynˆ ome p6 obtenues avec la m´ ethode de Newton-Horner
sans raffinement (` a gauche) et avec raffinement (` a droite)
r j
Nwt
s j
NwtRef
r 1
1
s 1
1
r 2 −0.99 − i9.54 · 10
−17
s 2 −1 + i1.23 · 10
−32
r 3
1+i
s 3
1+i
r 4
1-i
s 4
1-i
r 5
-1.31 · 10
−8 + i2
s 5 −5.66 · 10
−17 + i2
r 6
-i2
s 6
-i2