200
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
transformations de Jacobi. En supposant que |λ i − λ j | ≥ δ pour i = j, la
m´ ethode de Jacobi cyclique converge de mani` ere quadratique, c’est-` a-dire (voir
[Wil65], [Wil62])
Ψ(A
(k+N) ) ≤
1
δ
√
2
(Ψ(A
(k) ))
2 ,
k = 1, 2, . . .
Pour davantage de d´ etails sur l’algorithme, nous renvoyons `
a [GL89], Section 8.4.
Exemple 5.11 Appliquons la m´ ethode de Jacobi cyclique `
a la matrice de Hilbert
H4 de coefficients hij = 1/(i + j − 1), dont les valeurs propres sont (avec 5 chiffres
significatifs) λ1 = 1.5002, λ2 = 1.6914·10
−1 , λ3 = 6.7383·10
−3 et λ4 = 9.6702·10
−5 .
En ex´ ecutant le Programme 37 avec tol = 10
−15 , la m´ ethode converge en trois
balayages vers une matrice dont les coefficients diagonaux co¨ ıncident avec les valeurs
propres de H4 ` a 4.4409 · 10
−16 pr` es. Pour ce qui est des termes extra-diagonaux, on
a indiqu´ e dans la Table 5.3 les valeurs de Ψ(H
(k)
4 ).
•
Les relations (5.58) et (5.57) sont impl´ ement´ ees dans les Programmes 35
et 36.
Table 5.3. Convergence de l’algorithme de Jacobi cyclique
Balayage
Ψ(H
(k)
4 )
Balayage
Ψ(H
(k)
4 )
Balayage
Ψ(H
(k)
4 )
1
5.262 · 10
−2
2
3.824 · 10
−5
3
5.313 · 10
−16
Programme 35 - psinorm : Evaluation de Ψ(A) dans la m´ ethode de Jacobi
cyclique
function [psi]=psinorm(A)
%PSINORM Evaluation de Psi(A).
[n,m]=size(A);
if n˜=m, error(’Seulement pour les matrices carr´ ees’); end
psi=0;
for i=1:n-1
j=[i+1:n];
psi = psi + sum(A(i,j).ˆ2+A(j,i).ˆ2’);
end
psi=sqrt(psi);
return
Programme 36 - symschur : Evaluation de c et s
function [c,s]=symschur(A,p,q)
%SYMSCHUR Evaluation des param` etres c et s dans (5.62).
if A(p,q)==0