5.7 La m´ ethode QR avec translations
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M(i,j)=c*t1-s*t2;
M(k,j)=s*t1+c*t2;
end
return
Programme 33 - gacol : Produit MG(i, k, θ)
function [M]=gacol(M,c,s,j1,j2,i,k)
%GACOL Produit de M avec une matrice de rotation de Givens.
for j=j1:j2
t1=M(j,i);
t2=M(j,k);
M(j,i)=c*t1-s*t2;
M(j,k)=s*t1+c*t2;
end
return
5.7 La m´ ethode QR avec translations
L’Exemple 5.9 montre que les it´ erations QR ne convergent pas toujours vers
la forme de Schur r´ eelle d’une matrice A donn´ ee.
Une technique efficace pour am´ eliorer le r´ esultat consiste ` a introduire dans
la m´ ethode QR (5.32) une technique de translation similaire `
a celle utilis´ ee
pour la m´ ethode de la puissance inverse ` a la Section 5.3.2.
Ceci conduit `
a la m´ ethode QR avec translations (with single shift en anglais) d´ ecrite ` a la Section 5.7.1, qui est utilis´ ee pour acc´ el´ erer la convergence
des it´ erations QR quand les valeurs propres de A sont proches les unes des
autres.
On trouvera dans [QSS07] une technique de translation plus sophistiqu´ ee,
appel´ ee m´ ethode du double QR (with double shift en anglais) qui garantit la
convergence des it´ erations QR vers la forme de Schur r´ eelle (approch´ ee) de
la matrice A (Propri´ et´ e 5.7). Cette m´ ethode, tr` es utilis´ ee en pratique pour
r´ esoudre les probl` emes aux valeurs propres, est impl´ ement´ ee dans la fonction
eig de MATLAB.
5.7.1 La m´ ethode QR avec translations
Etant donn´ e µ ∈ R, la m´ ethode QR avec translations est d´ efinie comme suit :
pour k = 1, 2, . . ., jusqu’` a convergence,