192
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
Exemple 5.9 Utilisons maintenant la m´ ethode QR pour construire la d´ ecomposition de Schur r´ eelle de la matrice A ci-dessous, apr` es l’avoir r´ eduite sous forme de
Hessenberg sup´ erieure
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Les valeurs propres de A sont r´ eelles et donn´ ees par λ1 = 65, λ2,3 = ±21.28 et
λ4,5 = ±13.13. Apr` es 40 it´ erations du Programme 28, la matrice calcul´ ee est
T
(40) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
6 5
0
0
0
0
0
14.6701
14.2435
4.4848
−3.4375
0
16.6735
−14.6701
−1.2159
2.0416
0
0
0
−13.0293
−0.7643
0
0
0
−3.3173
13.0293
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Ce n’est pas une matrice triangulaire sup´ erieure, mais triangulaire sup´ erieure par
blocs, avec un bloc diagonal qui se r´ eduit `
a un scalaire R11 = 65 et deux blocs
diagonaux
R22 =
14.6701
14.2435
16.6735 −14.6701
, R33 =
−13.0293 −0.7643
−3.3173 13.0293
,
ayant respectivement pour spectre σ(R22) = λ2,3 et σ(R33) = λ4,5 .
Il est important de noter que la matrice T
(40) n’est pas la d´ ecomposition de Schur
r´ eelle de A, mais seulement une version “trompeuse” de celle-ci. En fait, pour que la
m´ ethode QR converge vers la d´ ecomposition de Schur r´ eelle de A, il est n´ ecessaire
de recourir aux techniques de translation introduites `
a la Section 5.7.
•
5.6.5 Impl´ ementation des matrices de transformation
Dans la d´ efinition (5.42) il est commode de choisir le signe moins, i.e.
w
(k) = x
(n−k)
− −x
(n−k)
2 e
(n−k)
1
, de fa¸ con `
a ce que le vecteur R n−k x
(n−k)
soit un multiple positif de e
(n−k)
1
. Si x k+1 est positif, on peut ´ eviter les erreurs
d’annulation en effectuant le calcul ainsi :
w
(k)
1 =
x
2
k+1 − −x
(n−k)
2
2
x k+1 + (n−k) 2
=
−
n
j=k+2
x
2
j
x k+1 + (n−k) 2
.
La construction du vecteur de Householder est effectu´ ee par le Programme 30,
qui prend en entr´ ee un vecteur p ∈ R
n−k (pr´ ec´ edemment le vecteur x
(n−k) )
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
Exemple 5.9 Utilisons maintenant la m´ ethode QR pour construire la d´ ecomposition de Schur r´ eelle de la matrice A ci-dessous, apr` es l’avoir r´ eduite sous forme de
Hessenberg sup´ erieure
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Les valeurs propres de A sont r´ eelles et donn´ ees par λ1 = 65, λ2,3 = ±21.28 et
λ4,5 = ±13.13. Apr` es 40 it´ erations du Programme 28, la matrice calcul´ ee est
T
(40) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
6 5
0
0
0
0
0
14.6701
14.2435
4.4848
−3.4375
0
16.6735
−14.6701
−1.2159
2.0416
0
0
0
−13.0293
−0.7643
0
0
0
−3.3173
13.0293
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Ce n’est pas une matrice triangulaire sup´ erieure, mais triangulaire sup´ erieure par
blocs, avec un bloc diagonal qui se r´ eduit `
a un scalaire R11 = 65 et deux blocs
diagonaux
R22 =
14.6701
14.2435
16.6735 −14.6701
, R33 =
−13.0293 −0.7643
−3.3173 13.0293
,
ayant respectivement pour spectre σ(R22) = λ2,3 et σ(R33) = λ4,5 .
Il est important de noter que la matrice T
(40) n’est pas la d´ ecomposition de Schur
r´ eelle de A, mais seulement une version “trompeuse” de celle-ci. En fait, pour que la
m´ ethode QR converge vers la d´ ecomposition de Schur r´ eelle de A, il est n´ ecessaire
de recourir aux techniques de translation introduites `
a la Section 5.7.
•
5.6.5 Impl´ ementation des matrices de transformation
Dans la d´ efinition (5.42) il est commode de choisir le signe moins, i.e.
w
(k) = x
(n−k)
− −x
(n−k)
2 e
(n−k)
1
, de fa¸ con `
a ce que le vecteur R n−k x
(n−k)
soit un multiple positif de e
(n−k)
1
. Si x k+1 est positif, on peut ´ eviter les erreurs
d’annulation en effectuant le calcul ainsi :
w
(k)
1 =
x
2
k+1 − −x
(n−k)
2
2
x k+1 + (n−k) 2
=
−
n
j=k+2
x
2
j
x k+1 + (n−k) 2
.
La construction du vecteur de Householder est effectu´ ee par le Programme 30,
qui prend en entr´ ee un vecteur p ∈ R
n−k (pr´ ec´ edemment le vecteur x
(n−k) )