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5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
r´ eelle de A en partant de la forme de Hessenberg sup´ erieure sont pr´ esent´ es ` a
la Section 5.6.4.
5.6.1 Matrices de transformation de Householder et Givens
Pour tout vecteur v ∈ R
n , introduisons la matrice sym´ etrique et orthogonale
P = I − 2vv
T /v
2
2 .
(5.38)
Etant donn´ e un vecteur x ∈ R
n , le vecteur y = Px est le sym´ etrique de x par
rapport `
a l’hyperplan π = vect{v}
⊥ constitu´ e des vecteurs orthogonaux `
a v
(voir Figure 5.3, `
a gauche). La matrice P est appel´ ee matrice de Householder
et le vecteur v est un vecteur de Householder.
v
x
y
π
y
x i
x
θ
x k
Fig. 5.3. Sym´ etrie par rapport `
a l’hyperplan orthogonal `
a v (` a gauche) ; rotation
d’angle θ dans le plan (xi, xk) (` a droite)
Les matrices de Householder peuvent ˆ etre utilis´ ees pour annuler un bloc de
composantes d’un vecteur x ∈ R
n donn´ e. Si, par exemple, on souhaite annuler
toutes les composantes de x, sauf la m-i` eme, le vecteur de Householder doit
ˆ etre d´ efini par
v = x ± ±x 2 e m ,
(5.39)
e m ´ etant le m-i` eme vecteur unitaire de R
n . La matrice P calcul´ ee en (5.38)
d´ epend de x, et on peut v´ erifier que
Px =
⎡
⎣ 0, 0, . . ., ±±x 2
m
, 0, . . ., 0
⎤
⎦
T
.
(5.40)
Exemple 5.5 Soit x = [1, 1, 1, 1]
T et m = 3 ; alors
v =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
1
3
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, P =
1
6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
5 −1 −3 −1
−1
5 −3 −1
−3 −3 −3 −3
−1 −1 −3
5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, Px =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
−2
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
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