5.4 La m´ ethode QR
179
0
10
20
30
40
50
60
70
80
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
0
6
12
18
10
−14
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
(S)
(NS)
Fig. 5.2. Comparaison entre l’estimation d’erreur a posteriori et l’erreur absolue
effective pour la matrice (5.30) (` a gauche); courbes de convergence de la m´ ethode
de la puissance appliqu´ ee ` a la matrice (5.31) dans sa forme sym´ etrique (S) et non
sym´ etrique (NS) (` a droite)
Consid´ erons les matrices
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 3 4
3 1 2
4 2 1
⎤
⎥
⎥
⎦ et T =
⎡
⎢
⎢
⎣
8 1 6
3 5 7
4 9 2
⎤
⎥
⎥
⎦ .
(5.31)
La matrice sym´ etrique A a pour valeurs propres λ1 = 7.047, λ2 = −3.1879 et
λ3 = −0.8868 (avec 4 chiffres significatifs).
Il est int´ eressant de comparer le comportement de la m´ ethode de la puissance quand
on calcule λ1 pour la matrice sym´ etrique A et pour la matrice M = T
−1 AT qui lui
est semblable, o` u T est la matrice inversible (et non orthogonale) d´ efinie en (5.31).
En ex´ ecutant le Programme 24 avec z
(0) = [1, 1, 1]
T , la m´ ethode de la puissance
converge vers la valeur propre λ1 en 18 it´ erations pour la matrice A et en 30 it´ erations pour la matrice M. La suite des erreurs absolues |λ1 − ν
(k) | est trac´ ee sur
la Figure 5.2 (` a droite) o` u (S) et (NS) se rapportent respectivement aux calculs
effectu´ es sur A et sur M. Remarquer la r´ eduction rapide de l’erreur dans le cas sym´ etrique, conform´ ement `
a la propri´ et´ e de convergence quadratique de la m´ ethode
de la puissance (voir Section 5.3.1).
Nous utilisons enfin la m´ ethode de la puissance inverse (5.28) pour calculer λ3 =
0.512 qui est la valeur propre de plus petit module de la matrice A d´ efinie en (5.30).
En ex´ ecutant le Programme 25 avec q
(0) = [1, 1, 1]
T /
√
3, la m´ ethode converge en 9
it´ erations, avec comme erreurs absolues |λ3 − σ
(9) | = 1.194 · 10
−12 et x3 − x
(9)
3 ∞ =
4.59 · 10
−13 .
•
5.4 La m´ ethode QR
Nous pr´ esentons dans cette section des m´ ethodes it´ eratives pour approcher
simultan´ ement toutes les valeurs propres d’une matrice A donn´ ee. L’id´ ee de
base est de transformer A en une matrice semblable pour laquelle le calcul des
valeurs propres est plus simple.
179
0
10
20
30
40
50
60
70
80
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
0
6
12
18
10
−14
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
(S)
(NS)
Fig. 5.2. Comparaison entre l’estimation d’erreur a posteriori et l’erreur absolue
effective pour la matrice (5.30) (` a gauche); courbes de convergence de la m´ ethode
de la puissance appliqu´ ee ` a la matrice (5.31) dans sa forme sym´ etrique (S) et non
sym´ etrique (NS) (` a droite)
Consid´ erons les matrices
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 3 4
3 1 2
4 2 1
⎤
⎥
⎥
⎦ et T =
⎡
⎢
⎢
⎣
8 1 6
3 5 7
4 9 2
⎤
⎥
⎥
⎦ .
(5.31)
La matrice sym´ etrique A a pour valeurs propres λ1 = 7.047, λ2 = −3.1879 et
λ3 = −0.8868 (avec 4 chiffres significatifs).
Il est int´ eressant de comparer le comportement de la m´ ethode de la puissance quand
on calcule λ1 pour la matrice sym´ etrique A et pour la matrice M = T
−1 AT qui lui
est semblable, o` u T est la matrice inversible (et non orthogonale) d´ efinie en (5.31).
En ex´ ecutant le Programme 24 avec z
(0) = [1, 1, 1]
T , la m´ ethode de la puissance
converge vers la valeur propre λ1 en 18 it´ erations pour la matrice A et en 30 it´ erations pour la matrice M. La suite des erreurs absolues |λ1 − ν
(k) | est trac´ ee sur
la Figure 5.2 (` a droite) o` u (S) et (NS) se rapportent respectivement aux calculs
effectu´ es sur A et sur M. Remarquer la r´ eduction rapide de l’erreur dans le cas sym´ etrique, conform´ ement `
a la propri´ et´ e de convergence quadratique de la m´ ethode
de la puissance (voir Section 5.3.1).
Nous utilisons enfin la m´ ethode de la puissance inverse (5.28) pour calculer λ3 =
0.512 qui est la valeur propre de plus petit module de la matrice A d´ efinie en (5.30).
En ex´ ecutant le Programme 25 avec q
(0) = [1, 1, 1]
T /
√
3, la m´ ethode converge en 9
it´ erations, avec comme erreurs absolues |λ3 − σ
(9) | = 1.194 · 10
−12 et x3 − x
(9)
3 ∞ =
4.59 · 10
−13 .
•
5.4 La m´ ethode QR
Nous pr´ esentons dans cette section des m´ ethodes it´ eratives pour approcher
simultan´ ement toutes les valeurs propres d’une matrice A donn´ ee. L’id´ ee de
base est de transformer A en une matrice semblable pour laquelle le calcul des
valeurs propres est plus simple.