148
4 M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires
end
q=A*p;
alpha=rho/(p’*q);
x=x+alpha*p;
r=r-alpha*q;
relres=norm(r)/bnrm2;
if relres<=tol, break, end
rho1 = rho;
end
if relres>tol, flag = 1; end
return
Exemple 4.6 Consid´ erons ` a nouveau le syst` eme lin´ eaire de l’Exemple 4.5. La m´ ethode converge en 3 it´ erations pour m = 16 et en 45 it´ erations pour m = 400 ; En
utilisant le mˆ eme pr´ econditionneur que dans l’Exemple 4.5, le nombre d’it´ erations
passe de 45 ` a 26 dans le cas m = 400.
•
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
10
−14
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
Fig. 4.8. Comportement du r´ esidu (normalis´ e par le second membre) en fonction du
nombre d’it´ erations pour la m´ ethode du gradient conjugu´ e appliqu´ ee aux syst` emes
de l’Exemple 4.5 pour m = 400. Les deux courbes se rapportent respectivement aux
m´ ethodes non pr´ econditionn´ ee et pr´ econditionn´ ee
4.4 M´ ethodes de Krylov
Nous introduisons dans cette section les m´ ethodes bas´ ees sur les sous-espaces
de Krylov. Pour les d´ emonstrations et pour plus de d´ etails nous renvoyons `
a
[Saa96], [Axe94] et [Hac94].
Consid´ erons la m´ ethode de Richardson (4.23) avec P=I ; la relation entre
le k-i` eme r´ esidu et le r´ esidu initial est donn´ ee par
r
(k) =
k−1
j=0
(I − α j A)r
(0) .
(4.49)