4.3 M´ ethodes it´ eratives stationnaires et instationnaires
137
l’approximation au sens des moindres carr´ es p s (A) est choisie de mani` ere
` a minimiser la fonction ϕ(x) = 1 − p s (x)x. Cette technique de pr´ econditionnement ne fonctionne effectivement que si A est sym´ etrique d´ efinie
positive.
Pour davantage de r´ esultats sur les pr´ econditionneurs, voir [dV89] et
[Axe94].
Exemple 4.4 Consid´ erons la matrice A∈ R
324×324 associ´ ee ` a l’approximation par
diff´ erences finies de l’op´ erateur de Laplace sur le carr´ e [−1, 1]
2 . Cette matrice
peut ˆ etre g´ en´ er´ ee avec les commandes MATLAB suivantes : G=numgrid(’N’,20);
A=delsq(G). Le conditionnement de la matrice est K2(A) = 211.3. La Table 4.1
montre les valeurs de K2(P
−1 A) calcul´ ees en utilisant les pr´ econditionneurs ILU(p)
et de Neumann avec p = 0, 1, 2, 3. Dans ce dernier cas, D est la partie diagonale
de A.
•
Table 4.1. Conditionnement spectral de la matrice A pr´ econditionn´ ee de
l’Exemple 4.4 en fonction de p
p ILU(p) Neumann
0
22.3
211.3
1
12
36.91
2
8.6
48.55
3
5.6
18.7
Remarque 4.2 Soient A et P des matrices sym´ etriques r´ eelles d’ordre n,
avec P d´ efinie positive. Les valeurs propres de la matrice pr´ econditionn´ ee
P
−1 A v´ erifient
Ax = λPx,
(4.31)
o` u x est le vecteur propre associ´ e ` a la valeur propre λ. L’´ equation (4.31) est
un exemple de probl` eme aux valeurs propres g´ en´ eralis´ e et la valeur propre λ
peut ˆ etre calcul´ ee ` a l’aide du quotient de Rayleigh g´ en´ eralis´ e
λ =
(Ax, x)
(Px, x)
.
Le Th´ eor` eme de Courant-Fisher donne
λ min (A)
λ max (P)
≤ λ ≤
λ max (A)
λ min (P)
.
(4.32)
La relation (4.32) fournit un encadrement des valeurs propres de la matrice
pr´ econditionn´ ee en fonction des valeurs propres extr´ emales de A et P. Elle est
donc utile pour estimer le conditionnement de P
−1 A.