4.3 M´ ethodes it´ eratives stationnaires et instationnaires
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Th´ eor` eme 4.9 On suppose la matrice P inversible et les valeurs propres de
P
−1 A strictement positives et telles que λ 1 ≥ λ 2 ≥ . . . ≥ λ n > 0. Alors, la
m´ ethode de Richardson stationnaire (4.22) est convergente si et seulement si
0 < α < 2/λ 1 . De plus,
α opt =
2
λ 1 + λ n
.
(4.26)
Le rayon spectral de la matrice d’it´ eration R α est minimal si α = α opt , avec
ρ opt = min
α
[ρ(R α )] =
λ 1 − λ n
λ 1 + λ n
.
(4.27)
D´ emonstration. Les valeurs propres de Rα sont donn´ ees par
λi(Rα) = 1 − αλi,
la suite d´ efinie par (4.22) est donc convergente si et seulement si |λi(Rα)| < 1
pour i = 1, . . . , n, c’est-` a-dire si et seulement si 0 < α < 2/λ1. Par cons´ equent
(voir Figure 4.2), ρ(Rα) est minimal quand 1 − αλn = αλ1 − 1, c’est-` a-dire pour
α = 2/(λ1 + λn), ce qui donne la valeur de αopt. Par substitution, on en d´ eduit ρopt.
3
Si P
−1 A est sym´ etrique d´ efinie positive, on peut montrer que la convergence
de la m´ ethode de Richardson est monotone par rapport `
a · · 2 et · · A . Dans
ce cas, on peut aussi relier ρ ` a K 2 (P
−1 A). On a en effet
ρ opt =
K 2 (P
−1 A) − 1
K 2 (P −1 A) + 1
, α opt =
2A
−1 P 2
K 2 (P −1 A) + 1
.
(4.28)
1
λ n
1
λ 1
α opt
2
λ 1
ρ = 1
|1 − αλ 1 |
|1 − αλ n |
ρ opt
|1 − αλ k |
α
Fig. 4.2. Rayon spectral de Rα en fonction des valeurs propres de P
−1 A