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M´ ethodes directes pour la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires
3.13 Exercices
1. Pour une matrice carr´ ee quelconque A∈ R
n×n , montrer les relations suivantes :
1
n
K2(A) ≤ K1(A) ≤ nK2(A),
1
n
K∞(A) ≤ K2(A) ≤ nK∞(A),
1
n 2 K1(A) ≤ K∞(A) ≤ n
2 K1(A).
Ceci permet de conclure qu’un syst` eme mal conditionn´ e dans une certaine norme
demeure mal conditionn´ e dans une autre norme, ` a un facteur multiplicatif pr` es
d´ ependant de n.
2. V´ erifier que la matrice B ∈ R
n×n : bii = 1, bij = −1 si i < j, bij = 0 si i > j,
est telle que d´ et(B) = 1 et K∞(B) = n2
n−1 .
3. Montrer que K(AB) ≤ K(A)K(B), pour toutes matrices A et B ∈ R
n×n inversibles.
4. Etant donn´ e la matrice A ∈ R
2×2 , a11 = a22 = 1, a12 = γ, a21 = 0, v´ erifier
que pour γ ≥ 0, K∞(A) = K1(A) = (1 + γ)
2 . Soit Ax = b le syst` eme lin´ eaire
o` u b est tel que x = [1 − γ, 1]
T soit la solution. Trouver une majoration de
en fonction de δb o` u δb = [δ1, δ2]
T . Le probl` eme estil bien conditionn´ e ?
5. Soit A ∈ R
n×n la matrice telle que aij = 1 si i = j ou j = n, aij = −1 si
i > j, et 0 sinon. Montrer que A admet une d´ ecomposition LU, avec |lij | ≤ 1
et unn = 2
n−1 .
6. Soit A la matrice de l’Exemple 3.5. Prouver que les ´ el´ ements des matrices
L
et
U sont tr` es grands en module. V´ erifier qu’on obtient la solution exacte en
utilisant la m´ ethode de Gauss avec changement de pivot total.
7. Construire une variante de la m´ ethode de Gauss qui transforme une matrice
inversible A ∈ R
n×n directement en une matrice diagonale D. Cet algorithme
est connu sous le nom de m´ ethode de Gauss-Jordan. Trouver les matrices de
transformation de Gauss-Jordan Gi, i = 1, . . . , n, telles que Gn . . . G1A = D.
8. Etudier l’existence et l’unicit´ e de la factorisation LU des matrices suivantes
B =
1 2
1 2
, C =
0 1
1 0
, D =
0 1
0 2
.
[Solution : d’apr` es la Propri´ et´ e 3.4, la matrice singuli` ere B, dont la sous-matrice
principale B1 = 1 est inversible, admet une unique factorisation LU. La matrice
inversible C dont la sous-matrice C1 est singuli` ere n’admet pas de factorisation,
tandis que la matrice (singuli` ere) D, dont la sous-matrice D1 est singuli` ere,
admet une infinit´ e de factorisations de la forme D = LβUβ, avec l
β
11 = 1,
l
β
21 = β, l
β
22 = 1, u
β
11 = 0, u
β
12 = 1 et u
β
22 = 2 − β ∀β ∈ R.]
9. Consid´ erer le syst` eme lin´ eaire Ax = b avec
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 0 6
2
8 0 −2 −2
2 9 1
3
2 1 −3 10
⎤
⎥
⎥
⎦ , b =
⎡
⎢
⎢
⎣
6
−2
−8
−4
⎤
⎥
⎥
⎦ .
M´ ethodes directes pour la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires
3.13 Exercices
1. Pour une matrice carr´ ee quelconque A∈ R
n×n , montrer les relations suivantes :
1
n
K2(A) ≤ K1(A) ≤ nK2(A),
1
n
K∞(A) ≤ K2(A) ≤ nK∞(A),
1
n 2 K1(A) ≤ K∞(A) ≤ n
2 K1(A).
Ceci permet de conclure qu’un syst` eme mal conditionn´ e dans une certaine norme
demeure mal conditionn´ e dans une autre norme, ` a un facteur multiplicatif pr` es
d´ ependant de n.
2. V´ erifier que la matrice B ∈ R
n×n : bii = 1, bij = −1 si i < j, bij = 0 si i > j,
est telle que d´ et(B) = 1 et K∞(B) = n2
n−1 .
3. Montrer que K(AB) ≤ K(A)K(B), pour toutes matrices A et B ∈ R
n×n inversibles.
4. Etant donn´ e la matrice A ∈ R
2×2 , a11 = a22 = 1, a12 = γ, a21 = 0, v´ erifier
que pour γ ≥ 0, K∞(A) = K1(A) = (1 + γ)
2 . Soit Ax = b le syst` eme lin´ eaire
o` u b est tel que x = [1 − γ, 1]
T soit la solution. Trouver une majoration de
en fonction de δb o` u δb = [δ1, δ2]
T . Le probl` eme estil bien conditionn´ e ?
5. Soit A ∈ R
n×n la matrice telle que aij = 1 si i = j ou j = n, aij = −1 si
i > j, et 0 sinon. Montrer que A admet une d´ ecomposition LU, avec |lij | ≤ 1
et unn = 2
n−1 .
6. Soit A la matrice de l’Exemple 3.5. Prouver que les ´ el´ ements des matrices
L
et
U sont tr` es grands en module. V´ erifier qu’on obtient la solution exacte en
utilisant la m´ ethode de Gauss avec changement de pivot total.
7. Construire une variante de la m´ ethode de Gauss qui transforme une matrice
inversible A ∈ R
n×n directement en une matrice diagonale D. Cet algorithme
est connu sous le nom de m´ ethode de Gauss-Jordan. Trouver les matrices de
transformation de Gauss-Jordan Gi, i = 1, . . . , n, telles que Gn . . . G1A = D.
8. Etudier l’existence et l’unicit´ e de la factorisation LU des matrices suivantes
B =
1 2
1 2
, C =
0 1
1 0
, D =
0 1
0 2
.
[Solution : d’apr` es la Propri´ et´ e 3.4, la matrice singuli` ere B, dont la sous-matrice
principale B1 = 1 est inversible, admet une unique factorisation LU. La matrice
inversible C dont la sous-matrice C1 est singuli` ere n’admet pas de factorisation,
tandis que la matrice (singuli` ere) D, dont la sous-matrice D1 est singuli` ere,
admet une infinit´ e de factorisations de la forme D = LβUβ, avec l
β
11 = 1,
l
β
21 = β, l
β
22 = 1, u
β
11 = 0, u
β
12 = 1 et u
β
22 = 2 − β ∀β ∈ R.]
9. Consid´ erer le syst` eme lin´ eaire Ax = b avec
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 0 6
2
8 0 −2 −2
2 9 1
3
2 1 −3 10
⎤
⎥
⎥
⎦ , b =
⎡
⎢
⎢
⎣
6
−2
−8
−4
⎤
⎥
⎥
⎦ .