1. Premières propriétés
1.1 Corps ordonné
On dit que l'ensemble R des nombres réels est
• un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations + et ×, avec toutes les
propriétés dont vous avez l'habitude ;
• un corps ordonné pour dire que la relation d'ordre est compatible avec +
et ×, c'est-à-dire :
∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c ∈ R
a b ⇒ a + c b + c
∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c 0
a b ⇒ ac bc
1.2 Règles de calcul
(x + y)
n
=
n
k=0
n
k
x
k y
n−k (formule du binôme)
où
n
k
=
n!
k!(n − k)!
x
n
− y
n
= (x − y)
n−1
k=0
x
n−k−1 y
k .
1.3 Valeur absolue
• La valeur absolue d'un réel a, notée |a|, est définie par :
|a| = a si a 0
;
|a| = −a si a 0 .
• Propriétés
∀a ∈ R ∀b ∈ R
|a| 0 ; |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 ; |ab| = |a| |b|
|a + b| |a| + |b| ;
|a| − |b|
|a − b|
1.4 Propriété d'Archimède
Soit a ∈ R et b > 0. Alors il existe k ∈ N tel que bk > a.
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1 re année
Nombres réels
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