1. Représentation d'une surface
Une surface S peut être représentée :
– soit par une équation cartésienne f (x,y,z) = 0 où f est une fonction de classe
C
1 de R
3 dans R,
– soit par des équations paramétriques
− − →
O M =
− →
F (u,v).
Un point de S est régulier si
− − →
grad f (x,y,z) = /
− →
0 , ou si
∂
− →
F
∂u
,
∂
− →
F
∂v
est une
famille libre.
2. Plan tangent
• En un point régulier M(x,y,z) de S, le plan tangent en M à S a pour équation :
(X − x)
∂ f
∂ x
(x,y,z) + (Y − y)
∂ f
∂ y
(x,y,z) + (Z − z)
∂ f
∂z
(x,y,z) = 0
et
− − →
grad f (x,y,z) est normal en M à S.
• Sous forme paramétrique, le plan tangent en M à S est défini par les vecteurs
directeurs
∂
− →
F
∂u
,
∂
− →
F
∂v
et la normale par le vecteur directeur
∂
− →
F
∂u
∧
∂
− →
F
∂v
·
3. Intersection de deux surfaces
• Pour déterminer explicitement l'intersection de deux surfaces S 1 et S 2 , il est préférable que l'une soit sous forme cartésienne et l'autre sous forme paramétrique.
On reporte alors les équations paramétriques de l'une dans l'équation cartésienne
de l'autre.
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2 e année
Généralités
sur les surfaces
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