2. Matrices et applications linéaires
2.1 Matrice d'une application linéaire de E dans F
Soit E et F des espaces vectoriels de dimensions p et n, munis de bases respectives B = (e 1 ,. . . ,e p ) et C = ( f 1 ,. . . , f n ) .
Soit f une application linéaire de E dans F. Elle est déterminée par la donnée des
vecteurs :
f (e j ) =
n
i=1
a i j f i
pour 1 j p ,
c'est-à-dire par la matrice A = (a i j ) dont les vecteurs colonnes sont les composantes de f (e j ) dans la base de F qui a été choisie.
On dit que A est la matrice de f dans les bases B et C .
A dépend donc à la fois de l'application linéaire qu'elle représente et
des bases choisies dans les espaces vectoriels de départ et d'arrivée.
Si E est de dimension n, dans toute base l'identité de E est représentée par la
matrice carrée I n qui comporte des 1 sur sa diagonale principale et des 0 ailleurs.
2.2 Bijection canonique entre M n, p (K) et L (K
p
,K
n
)
Fixons une base B dans E et une base C dans F. L'application ϕ, de L (E,F) dans
M n, p (K), f → ϕ( f ) = A , est une bijection.
En particulier, si E = K
p , F = K
n , et si B et C sont les bases canoniques de K
p
et de K
n , ϕ est la bijection canonique de L (K
p
,K
n
) dans M n, p (K).
2.3 Matrice de f (x)
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies munis de bases respectives B et C , et f une application linéaire de E dans F.
Soit x ∈ E et y ∈ F. Notons X la matrice colonne des composantes de x dans B,
Y la matrice colonne des composantes de y dans C , M la matrice de f dans les
bases B et C .
L'égalité vectorielle y = f (x) est équivalente à l'égalité matricielle :
Y = M X.
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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