Mais si les quantificateurs sont différents, leur ordre est important.
Dans l'écriture ∀x ∈ E ∃ y ∈ E p(x,y) y dépend de x.
Dans l'écriture ∃ y ∈ E ∀x ∈ E p(x,y) y est indépendant de x.
• Négation
La négation de « ∀x ∈ E x vérifie p » est « ∃ x ∈ E tel que x ne vérifie pas p ».
La négation de « ∃ x ∈ E x vérifie p » est « ∀x ∈ E x ne vérifie pas p ».
5. Quelques méthodes de démonstrations
• Déduction
Si p est vraie et si l'on démontre ( p ⇒ q), alors on peut conclure que q est
vraie.
Si la démonstration d'une implication vous résiste, pensez à examiner la contraposée. Elle a le même sens, mais il est possible que sa
démonstration soit plus facile.
• Raisonnement par l'absurde
Pour démontrer que p est vraie, on peut supposer que p est fausse et en déduire
une contradiction.
Comme vous partez de non p, ne vous trompez pas dans la négation,
en particulier en ce qui concerne les quantificateurs.
• Disjonction des cas
Elle est basée sur :
( p ⇒ q) et ( non p ⇒ q)
⇒ q
• Exemples et contre-exemples
Beaucoup de propositions mathématiques sont de type universel. Dans ce cas,
un exemple est une illustration, mais ne démontre rien,
un contre-exemple est une démonstration que la proposition est fausse.
• Raisonnement par récurrence
Voir fiche 41.
Logique binaire
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Dans l'écriture ∀x ∈ E ∃ y ∈ E p(x,y) y dépend de x.
Dans l'écriture ∃ y ∈ E ∀x ∈ E p(x,y) y est indépendant de x.
• Négation
La négation de « ∀x ∈ E x vérifie p » est « ∃ x ∈ E tel que x ne vérifie pas p ».
La négation de « ∃ x ∈ E x vérifie p » est « ∀x ∈ E x ne vérifie pas p ».
5. Quelques méthodes de démonstrations
• Déduction
Si p est vraie et si l'on démontre ( p ⇒ q), alors on peut conclure que q est
vraie.
Si la démonstration d'une implication vous résiste, pensez à examiner la contraposée. Elle a le même sens, mais il est possible que sa
démonstration soit plus facile.
• Raisonnement par l'absurde
Pour démontrer que p est vraie, on peut supposer que p est fausse et en déduire
une contradiction.
Comme vous partez de non p, ne vous trompez pas dans la négation,
en particulier en ce qui concerne les quantificateurs.
• Disjonction des cas
Elle est basée sur :
( p ⇒ q) et ( non p ⇒ q)
⇒ q
• Exemples et contre-exemples
Beaucoup de propositions mathématiques sont de type universel. Dans ce cas,
un exemple est une illustration, mais ne démontre rien,
un contre-exemple est une démonstration que la proposition est fausse.
• Raisonnement par récurrence
Voir fiche 41.
Logique binaire
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