n
k=0
u k e k = 0,
on a u 0 = · · · = u n = 0.
Posons-nous la même question que précédemment : comment construire une nouvelle relation à partir de
n
k=0
u k e k = 0 ?
Nous pourrions procéder de la même manière que pour la famille (c 0 ,. . . ,c n ) en
dérivant (une seule fois). Nous allons proposer une autre méthode.
Nous disposons d’une information supplémentaire sur les éléments e k : nous
connaissons bien leur croissance à l’infini. Plus précisément, si u n = / 0, alors la
fonction
n
k=0
u k e k
est nécessairement équivalente à u n e n au voisinage de +∞. Si u n = 0, mais
u n−1 = / 0, alors la fonction est équivalente à u n−1 e n−1 , etc. Cette observation nous
montre comment procéder : si l’un des coefficients u k n’est pas nul, nous pourrons
donner un équivalent de la somme qui contredira sa nullité.
Soient u 0 ,. . . ,u n ∈ R tels que l’on ait
n
k=0
u k e k = 0.
Supposons, par l’absurde, que les coefficients u k , avec k ∈ {0,. . . ,n} ne
sont pas tous nuls. Notons l ∈ {0,. . . ,n} le plus grand indice tel que l’on
ait u l = / 0. Alors, la fonction
n
k=0
u k e k
est équivalente, au voisinage de +∞, à la fonction u l e l . En particulier,
cette fonction n’est pas nulle, car u l = / 0. On aboutit à une contradiction.
Nous venons de montrer que, quel que soit k ∈ {0,. . . ,n} , le coefficient u k
est nul. On en déduit que la famille (e 0 ,. . . ,e n ) est libre.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Algèbre linéraire
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