Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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Or I - 8T- 1 = (T- 8)T- 1 , d'où (1 - 8T- 1 )- 1 = T(T- 8)- 1 donc
8- 1 -T- 1 = T(T- 8)- 1 8.
Autre calcul 8- 1 -T- 1 = T- 1 (T- 8)8- 1 est inversible comme produit
de 3 matrices inversibles et conduit à
5. On suppose Rn euclidien canonique. Si U et H existent on aura tM M =
tHtuU H = tH H car U orthogonale, donc = H 2 , (H symétrique).
Or tM M est symétrique, définie positive car, avec X vecteur colonne de Rn,
tx(tMM)X = \MX)MX, et avec Y= MX vecteur colonne des Y; c'est
n
égal à L YJ, d'où tx (tM M)X ~ 0, nul si et seulement si Y = 0 soit
j=l
X = 0 puisque M est régulière.
Mais alors il existe P orthogonale telle que
avec les d; > O.
En posant .6. = diag(y'dï, ... ,v'dn) on a tMM = P.ô. 2 tp = 8 2 avec
8 = P.6.t P, (ici les di ne sont pas forcément distincts).
On a trouvé 8 matrice symétrique définie positive telle que 8 2 = t MM.
On suppose les valeurs propres indexées sous la forme di, ... , dk, distinctes
de multiplicités respectives ai, ... , ak. Si on a alors 8 1 symétrique définie
positive vérifiant 8
12 = tMM, soitµ une valeur propre de 8 1 , ona µ 2 valeur
propre de 8
12 = 8 2 , donc il existe j ~ k tel que µ 2 = dj >o.
Comme 8' est positive on a alors µ = v'dJ > O.
De plus, si X est vecteur propre de 8 1 pour la valeur µ, on a
8
12 (X) = µ 2 X= d;X =>Ker (8 1 - µId) c Ker (8 2 - d; Id)
et comme 8 1 et 8 2 = tM M sont diagonalisables, les sommes des sousespaces propres étant directes on a forcément égalité. Mais de même
Ker (8 - Jdj Id) = Ker (8 2 - d; Id) d'où en fait Ker (8 1 - Jdj Id) =
Ker ( 8 - Jdj Id) : 8 et 8 1 ont mêmes sous-espaces propres pour les mêmes
valeurs propres, ils sont égaux, car il existe P dans GLn(R) telle que
p- l 8 P = p- l 8 1 P = la matrice diagonale associée à 8 et 8 1 dans une
base commune de vecteurs propres.
Soit U = M8- 1 (8- 1 existe car 8 symétrique définie positive). Comme
t8 = 8, on a (t8)- 1 = t(8- 1 ) = 8- 1 , donc 8- 1 aussi est symétrique.
Ona