Séries numériques
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Démonstration Reprenons le cadre de la démonstration du théorème 1.3.
Pour tout n E N on a :
car
- si n est pair on a Un +1 :::; U :::; Un donc 0 :::; U - Un +i :::; Un - Un +i ;
- si n est impair on a Un :::; U :::; Un +l donc Un - Un +l :::; U - Un +l :::: ::; O.
Pour conclure, il suffit de remarquer que
car (an)n est une suite de réels positifs.
D
Illustration avec MAPLE
La série L n ���� est une série alternée qui, d'après le théorème 1.3, converge.
On peut obtenir une valeur approchée de sa somme S en calculant
S N = L:: = o ���� . L'erreur commise IS N - SI est d'après la proposition 1.15
majorée par 2 J +3 . Ainsi, si l'on souhaite obtenir une valeur approchée à 10 - 3
près, il suffit de prendre N ;;?: 499.
Nous montrerons ultérieurement dans le cours en ayant recours aux propriétés
des séries de Fourier que la somme de cette série est % , voir p. 326.
On peut, à l'aide de MAPLE, explorer la qualité de l'approximation.
>S N:= N->sum( (-1)-n/ (2*n+1) ,n=O .. N) :
> E:=10*seq (i, i=1 .. 50) :
> F:=seq ( [N,evalf(SN (N) ) ] ,N=E) :
> D1 : =plot ( [F] , style=point ) : D2 : =plot (Pi/4 , x=O .. 500 ,y=0 . 78 .. 0.80) :
> with (plots) : display(D1 ,D2) ;
0.8
0.79
. . . · · · · · · · · · · · · · ··· · ···· ··········· ····
0.78 0
100
200
300
400
500