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Différentiabilité en dimension finie
10.2.2 Dérivées partielles
Soit f une application d'un ouvert U de !R n dans JRP différentiable en a E U;
la différentielle de f en a est une application linéaire de !R n dans JRP ce qui
implique que pour tous vecteurs u, v de !R n non nuls et pour tous réels À et /-l
tels que Àu + µv-/= 0 on a
d>.u+µvfa = dfa(Àu + µv) = À df a( u) + µ clfa (v) = À dufa + µ dvf a·
On en déduit que si on connaît les dérivées directionnelles selon k vecteurs non
nuls alors on dispose de la dérivée directionnelle selon n'importe quel vecteur
non nul engendré par ces k vecteurs. En particulier, si on connaît les dérivées directionnelles selon les n vecteurs d'une base ( e1, ... , e n ) de !R n alors on connaît
la dérivée selon tous les vecteurs v non nuls de !R n : si on désigne par v1 , . .. ,vn
les composantes de v dans la base ( e1, ... , e n ) alors on a, pour tout a E U
n
dvfa = L Vi deJa·
i=l
Cette constatation nous amène à introduire la définition suivante.
DÉFINITION 10.6 (Dérivées partielles)
(7)
Soient ( e1, ... , e n ) une base de !R n , U un ouvert de !R n et f une application
de U dans JRP différentiable en a E U. On appelle i - ième dérivée partielle
de f en a et on note *!;(a) ou od (a) , la dérivée de f en a selon le vecteur
de base ei , i.e.
Remarques
of
Oxi
(a) = deJa ·
1. Le plus souvent ( e1 , ... , e n ) est la base canonique de !R n , mais on aura également recours ultérieurement à la base des coordonnées sphérique et cylindrique
de JR 3 .
2. Si l'application J considérée dans la définition 10.6 est différentiable sur U,
on peut définir l'application od : a E U 1--- -t od (a) E JRP qui est appelée i-ième
dérivée partielle de f. Cette application od est aussi notée *!;.
<>
Exemple Soit f l'application (x1 , x 2 ) E IR 2 1--- -t (x1 cos(x 2 ), x1 sin(x 2 )) E IR 2 .
Pour tout (x1 , x 2 ) E IR 2 et pour tout t E IR* on a
f (x1 + t, x 2 ) - f (x1 , x 2 ) ( ( ) . ( ))
-- --t
----- = COS X2 , Sln X2 .
Ainsi, l'application f admet une dérivée partielle selon le premier vecteur de la
base canonique de IR 2 donnée par :
â
âf
(x1 , xz) = (cos(x 2 ),sin(x 2 )).
X1