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Limite et continuité dans un espace métrique
Afin de pouvoir considérer du point de vue de la continuité le produit de deux
fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé, il faut pouvoir munir l'espace d'arrivée d'une loi de composition interne produit x, autrement dit considérer des algèbres normées. On a la proposition suivante qui est un corollaire
de la proposition 9.6.
PROPOSITION 9.11 Soient (E, 11 · llE) un OC-espace vectoriel normé, (F, 11 · llF)
une OC-algèbre normée, D un sous-ensemble de E et fi et h deux applications
de D dans F. Si fi et h sont continues en xo E D (resp. sur D) alors
l'application fi x h définie par x E E r--+ fi (x) x f2 (x) E F est continue en
xo E D (resp. sur D ).
Exemple L'espace vectoriel (M n (OC), + , ·) muni de la norme de Schur est une
algèbre normée pour le produit entre matrices. L'application identité
ME M n (OC) r--+ M étant continue sur M n (OC), on déduit de la proposition 9.11
en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout k E N*, l'application
ME Mn(OC) r--+ M k est continue sur M n (OC). La proposition 9.10 permet alors
d'affirmer que pour tout polynôme P E IK(X] l'application
ME Mn(OC) t-+ P(M) E M n (OC)
est continue sur Mn (OC).
Continuité de l'application déterminant
L'objet de cette partie est d'établir que l'application déterminant <17> d'ordre n
par rapport à une base B = ( e1, ... , en) de JR. n , qui est l'unique forme n-linéaire
alternée cisJ vérifiant detB(e1 , ... , en) = 1, est une application continue de
JR. n x · · · x JR. n dans R Rappelons que si x1 , ... , Xn sont des vecteurs de JR.n
alors
où 6 n désigne l'ensemble des permutations de {1, ... ,n} , c (a) la signature
de la permutation a et (x1j, ... , X n j) les composantes du vecteur Xj dans la
base B. Pour établir la continuité de l'application déterminant, nous allons
avoir recours à l'inégalité de Hadamard.
{ iî) Voir la définition 11.6 p. 474 du Cours de p1·emière année.
c i s J Voir la définition 11.5 p. 473 du Cours de première année.
Limite et continuité dans un espace métrique
Afin de pouvoir considérer du point de vue de la continuité le produit de deux
fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé, il faut pouvoir munir l'espace d'arrivée d'une loi de composition interne produit x, autrement dit considérer des algèbres normées. On a la proposition suivante qui est un corollaire
de la proposition 9.6.
PROPOSITION 9.11 Soient (E, 11 · llE) un OC-espace vectoriel normé, (F, 11 · llF)
une OC-algèbre normée, D un sous-ensemble de E et fi et h deux applications
de D dans F. Si fi et h sont continues en xo E D (resp. sur D) alors
l'application fi x h définie par x E E r--+ fi (x) x f2 (x) E F est continue en
xo E D (resp. sur D ).
Exemple L'espace vectoriel (M n (OC), + , ·) muni de la norme de Schur est une
algèbre normée pour le produit entre matrices. L'application identité
ME M n (OC) r--+ M étant continue sur M n (OC), on déduit de la proposition 9.11
en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout k E N*, l'application
ME Mn(OC) r--+ M k est continue sur M n (OC). La proposition 9.10 permet alors
d'affirmer que pour tout polynôme P E IK(X] l'application
ME Mn(OC) t-+ P(M) E M n (OC)
est continue sur Mn (OC).
Continuité de l'application déterminant
L'objet de cette partie est d'établir que l'application déterminant <17> d'ordre n
par rapport à une base B = ( e1, ... , en) de JR. n , qui est l'unique forme n-linéaire
alternée cisJ vérifiant detB(e1 , ... , en) = 1, est une application continue de
JR. n x · · · x JR. n dans R Rappelons que si x1 , ... , Xn sont des vecteurs de JR.n
alors
où 6 n désigne l'ensemble des permutations de {1, ... ,n} , c (a) la signature
de la permutation a et (x1j, ... , X n j) les composantes du vecteur Xj dans la
base B. Pour établir la continuité de l'application déterminant, nous allons
avoir recours à l'inégalité de Hadamard.
{ iî) Voir la définition 11.6 p. 474 du Cours de p1·emière année.
c i s J Voir la définition 11.5 p. 473 du Cours de première année.