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Exercices de synthèse
5 - Soient f un élément de E et u un élément de K vérifiant la relation (32).
Pour w E K et t E [O, 1], on note v = (1 - t)u + tw.
a) Montrer que ll f - v ll 2 = ll f - u ll 2 - 2t(f - u, w - u) + t 2 ilw - ujj 2 .
b) En déduire que /If -·ull 2 :::; ; ll f - u ll 2 - 2t(f - u, w - u) + t 2 ilw - u ll 2 .
c) En déduire que u vérifie
Vw EK (f - u, w - u) :::; ; O.
(33)
6 - Soient f un élément de E et u un élément de K vérifiant l'assertion (33).
a) Montrer que pour tout w E K, on a ll f - w ll 2 ;;:: ll f - ujj 2 .
b) En déduire que u vérifie (32).
7 - a) Montrer qu'il existe un seul u E K vérifiant (33).
b) En déduire le résultat annoncé par l'assertion (30).