520
Exercices de synthèse
Si on veut connaître la position du cône dans le repère initial, il faut faire
intervenir les transformations effectuées au cours de la réduction ayant permis
de passer du repère initial au repère final. Il s'agit d'une part un rotation
d'angle 7r/4 et d'axe (O; k) puis une translation de vecteur (1/J2, 1/J2, 0). Ils
sont représentées sur la figure 16.
z z
'
z I
Fig. 16 Position des différents repères.
Exercice 8.10 Déterminer la nature la quadrique d'équation
x 2 + 4y 2 + 5z 2 - 4xy - 2x + 4y = O.
8.6 Exercices de synthèse
Exercice 8.11
Dans cet exercice, q désigne une forme quadratique sur IR.
n . Les termes « orthonormé » et «norme » utilisés dans l'énoncé font référence au produit scalaire
canonique sur IR.
n .
1 - Montrer que s'il existe une base orthonormée {fi}i E { l , .. . , n } de IR.
n telle que
Vi E { l,2, . . . ,n} q (fi )=O
(114)
alors la trace de q est nulle.
2 - Supposons maintenant que la trace de q est nulle.
a) Rappeler pourquoi il existe une base orthonormée { ei}i E { l , . . . , n } de IR.
n
dans laquelle la forme quadratique s'écrit
où les Ài sont des réels vérifiant À1 + À 2 + · · · + Àn = O.
<114> On rappelle que la trace d'une forme quadratique est la trace de la matrice représentant q
dans une base orthonormée quelconque.