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Isométries et matrices orthogonales
8.3 Isométries et matrices orthogonales
8.3.1 Isométries
Dans un espace euclidien E, certains endomorphismes < 1• > ont la propriété de
« conserver » le produit scalaire de l'espace euclidien E, ce qui signifie que
le produit scalaire entre les images de deux éléments x et y de E est égal
au produit scalaire entre les deux éléments x et y. Ces endomorphismes sont
appelés isométries.
DÉFINITION 8.17 {Isométrie)
Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On dit que u est
une isométrie si
V(x, y) E E 2 (u(x), u(y)) = (x, y).
(20)
En choisissant x = y on établit aisément qu'une isométrie u est une application
qui conserve la norme, i.e. que ll u(x) ll = ll x ll pour tout x E E. On a plus
précisément le résultat suivant.
PROPOSITION 8.21 Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme
de E. L'endomorphisme u est une isométrie si et seulement si
Vx E E ll u(x) ll = ll x ll ·
Démonstration Nous avons montré en préambule que toute isométrie conserve
la norme. Montrons la réciproque ; supposons que l'endomorphisme u vérifie
Vx E E ll u(x) ll = ll x ll
(21)
et considérons deux vecteurs x et y de E. En utilisant la formule de polarisa•
( 75 )
b .
tion , on o tient
(u(x), u(y)) = �( ll u(x) + u(y) ll 2 - ll u(x) - u(y) ll 2 ).
La linéarité de l'application u et l'assertion (21) indiquent que
ll u(x) + u(y)ll 2 = ll u(x + Y ) ll 2 = ll x + Yll 2 ,
et ll u(x) - u(y) ll 2 = ll u(x - y) ll 2 = ll x - yll 2 .
<74> Un endomorphisme d'un JR:.-espace vectoriel E est une application linéaire de E dans E,
voir le Cours de première année p. 358.
<75> Plus précisément, la proposition 8.6, p. 449 indique que
'v'( a, b) E E2 (a, b) = �( li a+ b ll 2 - li a - b ll 2 ) .
Pour obtenir l'égalité souhaitée, on prend a= u(x) et b = u(y).
Isométries et matrices orthogonales
8.3 Isométries et matrices orthogonales
8.3.1 Isométries
Dans un espace euclidien E, certains endomorphismes < 1• > ont la propriété de
« conserver » le produit scalaire de l'espace euclidien E, ce qui signifie que
le produit scalaire entre les images de deux éléments x et y de E est égal
au produit scalaire entre les deux éléments x et y. Ces endomorphismes sont
appelés isométries.
DÉFINITION 8.17 {Isométrie)
Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On dit que u est
une isométrie si
V(x, y) E E 2 (u(x), u(y)) = (x, y).
(20)
En choisissant x = y on établit aisément qu'une isométrie u est une application
qui conserve la norme, i.e. que ll u(x) ll = ll x ll pour tout x E E. On a plus
précisément le résultat suivant.
PROPOSITION 8.21 Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme
de E. L'endomorphisme u est une isométrie si et seulement si
Vx E E ll u(x) ll = ll x ll ·
Démonstration Nous avons montré en préambule que toute isométrie conserve
la norme. Montrons la réciproque ; supposons que l'endomorphisme u vérifie
Vx E E ll u(x) ll = ll x ll
(21)
et considérons deux vecteurs x et y de E. En utilisant la formule de polarisa•
( 75 )
b .
tion , on o tient
(u(x), u(y)) = �( ll u(x) + u(y) ll 2 - ll u(x) - u(y) ll 2 ).
La linéarité de l'application u et l'assertion (21) indiquent que
ll u(x) + u(y)ll 2 = ll u(x + Y ) ll 2 = ll x + Yll 2 ,
et ll u(x) - u(y) ll 2 = ll u(x - y) ll 2 = ll x - yll 2 .
<74> Un endomorphisme d'un JR:.-espace vectoriel E est une application linéaire de E dans E,
voir le Cours de première année p. 358.
<75> Plus précisément, la proposition 8.6, p. 449 indique que
'v'( a, b) E E2 (a, b) = �( li a+ b ll 2 - li a - b ll 2 ) .
Pour obtenir l'égalité souhaitée, on prend a= u(x) et b = u(y).