Séries numériques
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!::: Si a E]O, 1 [ alors pour tout n E N* on an - °' � n -1 � O. Comme la série
L n �l n -1 diverge, on déduit des critères de comparaison (voir le théorème 1.2)
que la série L n �l n - °' diverge aussi.
!::: Intéressons-nous au cas où a > 1. L'application f : x E (1, +00(1--+ 1/x°' est
une application positive et décroissante, donc d'après la proposition 1.6 la série
L n ;;;, l l/n°' et l'intégrale généralisée Jt ''0 f(t) dt sont de même nature. Pour
x > 1, on a
lx 1
1
1
l +oo 1
lx 1
1
- dt = --( 1- --) et
- dt = lim
- dt = --.
l t°'
Q - 1
xo: - l
l t°'
x-->+oo l t°'
Q - 1
Comme l'intégrale généralisée J 1
+00 1/t°' dt converge, on en déduit que la série
L n �I l/n°' converge.
0
PROPOSITION 1.9 (Règle de Riemann)
Soit L n Un une série à termes positifs .
�S'il existe un réel a E]l, +oo[ tel que la suite (n°'un)n converge vers 0 alors
la série L n Un converge.
�S'il existe un réel a E] - oo, 1] tel que la suite (n°'un)n tende vers +oo alors
la série L n Un diverge.
Démonstration !::: S'il existe un réel a E]l, +oo[ tel que la suite (n°'un)n
converge vers 0 alors Un = 0+00(1/n°'). Si a E]l, +oo[ alors la série de Riemann
L n l/n°' converge et le corollaire 1.3 permet de conclure que la série L n Un
converge.
!::: S'il existe un réel a E] - oo, 1] tel que la suite (n°'un)n tende vers +oo alors
l/n°' = 0+00(un}· Si a E] - oo, 1] alors la série de Riemann L n l/n°' diverge
et le corollaire 1.3 permet de conclure que la série L n Un diverge.
0
Exemple Déterminons la nature de la série de terme général Un = (ln(n)) - n .
Pour tout n E N* on a
n 2 un = exp(2ln(n) - nln(ln(n))).
•
( 2 9)
Comme ln(n) = 0+00(n), on a 2ln(n) = 0+00(n ln(ln(n))). On en dédmt que
2ln(n)-nln(ln(n)) rv -nln(ln(n)). Puisque limn__, +00 -nln(ln(n)) = -oo, cela
+oo
implique que limn--> +oo n 2 un = 0 et par conséquent que la série L n Un converge.
On se convaincra de l'intérêt de ce critère en notant que Un n'a pas d'équivalent
qui permette de conclure en ayant recours au corollaire 1.2.
<2 9 l Voir le Cours de première année p. 694.
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!::: Si a E]O, 1 [ alors pour tout n E N* on an - °' � n -1 � O. Comme la série
L n �l n -1 diverge, on déduit des critères de comparaison (voir le théorème 1.2)
que la série L n �l n - °' diverge aussi.
!::: Intéressons-nous au cas où a > 1. L'application f : x E (1, +00(1--+ 1/x°' est
une application positive et décroissante, donc d'après la proposition 1.6 la série
L n ;;;, l l/n°' et l'intégrale généralisée Jt ''0 f(t) dt sont de même nature. Pour
x > 1, on a
lx 1
1
1
l +oo 1
lx 1
1
- dt = --( 1- --) et
- dt = lim
- dt = --.
l t°'
Q - 1
xo: - l
l t°'
x-->+oo l t°'
Q - 1
Comme l'intégrale généralisée J 1
+00 1/t°' dt converge, on en déduit que la série
L n �I l/n°' converge.
0
PROPOSITION 1.9 (Règle de Riemann)
Soit L n Un une série à termes positifs .
�S'il existe un réel a E]l, +oo[ tel que la suite (n°'un)n converge vers 0 alors
la série L n Un converge.
�S'il existe un réel a E] - oo, 1] tel que la suite (n°'un)n tende vers +oo alors
la série L n Un diverge.
Démonstration !::: S'il existe un réel a E]l, +oo[ tel que la suite (n°'un)n
converge vers 0 alors Un = 0+00(1/n°'). Si a E]l, +oo[ alors la série de Riemann
L n l/n°' converge et le corollaire 1.3 permet de conclure que la série L n Un
converge.
!::: S'il existe un réel a E] - oo, 1] tel que la suite (n°'un)n tende vers +oo alors
l/n°' = 0+00(un}· Si a E] - oo, 1] alors la série de Riemann L n l/n°' diverge
et le corollaire 1.3 permet de conclure que la série L n Un diverge.
0
Exemple Déterminons la nature de la série de terme général Un = (ln(n)) - n .
Pour tout n E N* on a
n 2 un = exp(2ln(n) - nln(ln(n))).
•
( 2 9)
Comme ln(n) = 0+00(n), on a 2ln(n) = 0+00(n ln(ln(n))). On en dédmt que
2ln(n)-nln(ln(n)) rv -nln(ln(n)). Puisque limn__, +00 -nln(ln(n)) = -oo, cela
+oo
implique que limn--> +oo n 2 un = 0 et par conséquent que la série L n Un converge.
On se convaincra de l'intérêt de ce critère en notant que Un n'a pas d'équivalent
qui permette de conclure en ayant recours au corollaire 1.2.
<2 9 l Voir le Cours de première année p. 694.