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Formes bilinéaires et formes quadratiques
Rappelons <33> qu'une famille finie (vi)iE{ l, .. .,p} (p E N*) d'un espace vectoriel
est dite liée s'il existe des réels o:1 , ... , o:µ, dont un au moins est non nul, tels
que
0: 1 V 1 + 0:2V2 + .. . + O: µ V p = Ü.
Si une famille finie n'est pas liée, on dit que c'est une famille libre (ou que les
vecteurs de la familles sont linéairement indépendants).
Ces définitions de familles liées et libres se généralisent aux familles infinies de la
manière suivante : une famille infinie est libre si toutes ses sous-familles <34> finies
sont libres, et une famille infinie est liée si elle n'est pas libre.
Concernant les familles q-orthonormales, on a la proposition suivante.
PROPOSITION 8.9 Soient E un �-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E. Toute famille de vecteurs de E qui est q-orthonormale est une
famille libre.
Démonstration Soit (vi)iEI une famille de vecteurs de E qui est q-orthogonale.
Si cette famille est une famille infinie, pour montrer que c'est une famille libre,
il faut montrer que toutes ses sous-familles finies sont libres. Ainsi, si on montre
que toute famille finie de vecteurs de E qui est q-orthonormale est une famille
libre alors la proposition sera démontrée aussi bien pour les familles finies que
pour les familles infinies.
Considérons une famille finie F = { vi, . .. , vµ } (p E N*) q-orthonormale. Supposons qu'il existe des réels À1 , ... , Àp tels que >.1v1 + · · · + Àpvp =O. Pour
tout k E {1, ... ,p} , on a
La bilinéarité de l'application
pour tout k E {1, . . . ,p} . Cela montre que tous les Àk sont nuls : la famille
{v 1 , ... , vp } est libre.
0
1 Une famille peut être q-orthogonale sans pour autant être libre. Par exemple
la famille {(1, 1), (2, 2)} de � 2 est q-orthogonale pour la forme quadratique
q(x) =xi - x� mais cette famille n'est manifestement pas libre puisque l'un
des vecteurs est le double de l'autre.
<33> vo ir le Cours de première année p. 317.
<34> Une sous-famille d'une famille (vilieJ est une famille de la forme (v;);eJ où J C I.
Formes bilinéaires et formes quadratiques
Rappelons <33> qu'une famille finie (vi)iE{ l, .. .,p} (p E N*) d'un espace vectoriel
est dite liée s'il existe des réels o:1 , ... , o:µ, dont un au moins est non nul, tels
que
0: 1 V 1 + 0:2V2 + .. . + O: µ V p = Ü.
Si une famille finie n'est pas liée, on dit que c'est une famille libre (ou que les
vecteurs de la familles sont linéairement indépendants).
Ces définitions de familles liées et libres se généralisent aux familles infinies de la
manière suivante : une famille infinie est libre si toutes ses sous-familles <34> finies
sont libres, et une famille infinie est liée si elle n'est pas libre.
Concernant les familles q-orthonormales, on a la proposition suivante.
PROPOSITION 8.9 Soient E un �-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E. Toute famille de vecteurs de E qui est q-orthonormale est une
famille libre.
Démonstration Soit (vi)iEI une famille de vecteurs de E qui est q-orthogonale.
Si cette famille est une famille infinie, pour montrer que c'est une famille libre,
il faut montrer que toutes ses sous-familles finies sont libres. Ainsi, si on montre
que toute famille finie de vecteurs de E qui est q-orthonormale est une famille
libre alors la proposition sera démontrée aussi bien pour les familles finies que
pour les familles infinies.
Considérons une famille finie F = { vi, . .. , vµ } (p E N*) q-orthonormale. Supposons qu'il existe des réels À1 , ... , Àp tels que >.1v1 + · · · + Àpvp =O. Pour
tout k E {1, ... ,p} , on a
La bilinéarité de l'application
pour tout k E {1, . . . ,p} . Cela montre que tous les Àk sont nuls : la famille
{v 1 , ... , vp } est libre.
0
1 Une famille peut être q-orthogonale sans pour autant être libre. Par exemple
la famille {(1, 1), (2, 2)} de � 2 est q-orthogonale pour la forme quadratique
q(x) =xi - x� mais cette famille n'est manifestement pas libre puisque l'un
des vecteurs est le double de l'autre.
<33> vo ir le Cours de première année p. 317.
<34> Une sous-famille d'une famille (vilieJ est une famille de la forme (v;);eJ où J C I.