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Suites dans un espace métrique
7.4.4 Caractérisation des fermés dans un espace métrique
THÉORÈME 7.6 Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble
de E.
X Un élément a de E appartient à l'adhérence A de A si et seulement si il est
la limite d'une suite d'éléments de A.
X Une condition nécessaire et suffisante pour que A soit un ensemble fermé
dans (E, d) est que toutes les suites (xn)n d'éléments de A convergentes aient
pour limite un élément de A.
Démonstration � Supposons que a soit la limite d'une suite (xn)n d'éléments
de A et montrons que a E A. Pour cela, voir la définition 7.9, montrons que
toute boule ouverte de centre a contient au moins un élément de A, c'est-à-dire
que pour tout r E IR'.f- l'ensemble B(a, r ) n A est non vide. En prenant c = ;
dans la définition 7.16, on obtient
3N EN '<:/ n EN (n ;;:-: N =} d(xn ,a) :( D
ce qui signifie que pour tout n ;;:-: N, Xn E B(a, ;). Puisque B(a, ;) C B(a, r ),
à partir du rang N tous les éléments de la suite (xn)n (qui sont des éléments
de A) appartiennent à B(a, r ). La boule B(a, r ) contient donc des éléments
de A.
� Inversement, supposons que a E A et construisons une suite (xn)n d'éléments
de A qui converge vers a. Puisque a E A, toute boule ouverte de centre a et de
rayon � où n EN* contient au moins un élément de A; notons Xn l'un de ces
éléments. Comme Xn E B(a, �),on a d(xn ,a) < � et par conséquent la suite
(xn)n converge vers a.
� La seconde propriété résulte de la première propriété qui vient d'être démontré et du fait que l'ensemble A est fermé dans (E, d) si et seulement si
A = A.
D
Exemples
1. Le théorème 7.6 va nous permettre de montrer facilement que si (F, dF)
est un espace métrique alors l'ensemble B = {(y1, Y2) E F 2 ; Y I = Y2 } est un
fermé dans F 2 (muni d'une des distances produit) . Considérons une suite (un)n
d'éléments de B qui converge vers l'élément f. = (f.1 ,f. 2 ) de F 2 et montrons que
e appartient à B, c'est-à-dire que f.1 = f. 2 . Pour tout n EN on a Un = (an,bn)
avec (an , bn) E F 2 et an = bn. Puisque la suite (un)n converge vers f. = (f.1, f. 2 ),
la suite (an)n converge vers f.1 et la suite (bn)n converge vers f. 2 . Comme les
deux suites (an)n et (bn)n sont égales, par unicité de la limite, elles convergent
vers le même élément : on a donc f.1 = f. 2 .
2. L'espace vectoriel C 0 ([a, b] , IR) n'est pas un sous-espace vectoriel fermé dans
l'espace vectoriel R.I((O, 1], IR) des fonctions Riemann-intégrables sur (0, 1] muni