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Topologie dans un espace métrique
Pa r ailleurs, d'après la définition 7.9,
x E CEA {==:} \fr E IR+ 3y E CEA d(x, y) < r
{==:}
\fr E IR+ 3y E CEA y E B(x, r).
On en déduit que CEA = CEint (A).
!::: : Montrons que Int (CEA) = CEA· On a d'une part, d'après la définition 7.8,
x E I
� t (CEA) {==:} 3r E IR+ B(x, r) c CEA
{==:}
3r E IR+ \:/y E B(x, r) y E CEA.
D'autre part, d'après la définition 7.9, on a <44>
x E CEA {==:} x �A {==:} non (Vr E IR+ 3y E B(x, r) y E A)
{==:}
(3r E IR+ ' On en déduit que x E Int (CEA) si et seulement si x E CEA, ce qui signifie que
Int (CEA) = CEA.
!::: : D'après la proposition 7.10, pour tous sous-ensembles Cet D non vides de E,
on a Int (C n D) = Int (C) n Int (D). En prenant C = CEA, D = CEB et en
utilisant la première des relations que l'on vient de montrer, on obtient :
CEint (C n D) = CE(C n D) = CEG u CED =Au B
et CE(Int (C)n int (D)) =C Eint(C)u CEint(D) =C EcuCED= AUB.
On a donc AU B =A U B. Le s deux autres relations, qui se démontrent sur le
même principe, sont laissées en exercice.
0
Dans !R n muni des distances di, dz ou d00 , définies à la proposition 7.2,
l'adhérence d'une boule ouverte B(xo, r) est la boule fermée B(xo, r), mais
cette propriété n'est pas tou jo urs vraie dans un espace métrique. Pa r
exemple, dans !R n muni de la distance discrète (voir les exemples de la
p. 346), la boule ouverte B(xo, 1) est réduite au singleton {xo} (qui est un
ouvert et un fermé pour cette distance) et par conséquent l'adhérence de
la boule ouverte qui est B(xo, 1) = {x0} n'est pas égale à la boule fermée
B(x0 , 1) = !R n . On montre toutefois que dans le cas où l'espace métrique
est un espace vectoriel normé (la distance étant subordonnée à la norme)
l'adhérence d'une boule ouve rte est tou jours une boule fermée.
DÉFINITION 7.10 (Densité d'un ensemble)
Soient (E, d) un espace métrique et A et B deux sous-ensembles non vides
de E. On dit que A est dense dans B si A= B, autrement dit s/ 45>
\:/x E B '
de première année.
Topologie dans un espace métrique
Pa r ailleurs, d'après la définition 7.9,
x E CEA {==:} \fr E IR+ 3y E CEA d(x, y) < r
{==:}
\fr E IR+ 3y E CEA y E B(x, r).
On en déduit que CEA = CEint (A).
!::: : Montrons que Int (CEA) = CEA· On a d'une part, d'après la définition 7.8,
x E I
� t (CEA) {==:} 3r E IR+ B(x, r) c CEA
{==:}
3r E IR+ \:/y E B(x, r) y E CEA.
D'autre part, d'après la définition 7.9, on a <44>
x E CEA {==:} x �A {==:} non (Vr E IR+ 3y E B(x, r) y E A)
{==:}
(3r E IR+ ' On en déduit que x E Int (CEA) si et seulement si x E CEA, ce qui signifie que
Int (CEA) = CEA.
!::: : D'après la proposition 7.10, pour tous sous-ensembles Cet D non vides de E,
on a Int (C n D) = Int (C) n Int (D). En prenant C = CEA, D = CEB et en
utilisant la première des relations que l'on vient de montrer, on obtient :
CEint (C n D) = CE(C n D) = CEG u CED =Au B
et CE(Int (C)n int (D)) =C Eint(C)u CEint(D) =C EcuCED= AUB.
On a donc AU B =A U B. Le s deux autres relations, qui se démontrent sur le
même principe, sont laissées en exercice.
0
Dans !R n muni des distances di, dz ou d00 , définies à la proposition 7.2,
l'adhérence d'une boule ouverte B(xo, r) est la boule fermée B(xo, r), mais
cette propriété n'est pas tou jo urs vraie dans un espace métrique. Pa r
exemple, dans !R n muni de la distance discrète (voir les exemples de la
p. 346), la boule ouverte B(xo, 1) est réduite au singleton {xo} (qui est un
ouvert et un fermé pour cette distance) et par conséquent l'adhérence de
la boule ouverte qui est B(xo, 1) = {x0} n'est pas égale à la boule fermée
B(x0 , 1) = !R n . On montre toutefois que dans le cas où l'espace métrique
est un espace vectoriel normé (la distance étant subordonnée à la norme)
l'adhérence d'une boule ouve rte est tou jours une boule fermée.
DÉFINITION 7.10 (Densité d'un ensemble)
Soient (E, d) un espace métrique et A et B deux sous-ensembles non vides
de E. On dit que A est dense dans B si A= B, autrement dit s/ 45>
\:/x E B '
de première année.