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Topologie dans un espace métrique
pour chacun de ses éléments une boule ouverte centrée en l'élément considéré
qui soit incluse dans Oio. C'est en particulier le cas pour x : il existe un réel
r > 0 tel que B(x, r) c Oio· Mais comme Oio est inclus dans 0 la boule B(x, r)
est incluse dans 0. On a ainsi montré que pour tout élément x de 0, il existe
un réel r > 0 tel que B(x, r) c O. L'ensemble 0 est donc ouvert .
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Fig. 6 Les deux situations considérées.
!:'.'.: Soit (Oi)iE{l, ... ,n} une famille finie d'ensembles ouverts ; désignons par 0
l'intersection de ces ensembles. Si l'intersection est l'ensemble vide, il s'agit
bien d'un ouvert. Supposons donc cette intersection non vide et considérons un
élément x quelconque de 0, voir le dessin de droite de la figure 6. Il appartient
nécessairement à tous les ensembles Oi et comme ces ensembles sont ouverts,
pour tout i E {1, ... , n} il existe un réel ri > 0 tel que B(x, ri) C Oi. Si
r = miniE{l, ... ,n} ri alors r > 0 et pour tout i E {1, ... , n} on a B(x, r) c
B(x, ri) c Oi. On a par conséquent B(x, r) C 0 et 0 est donc un ensemble
ouvert.
!:'.'.: Les propriétés concernant les ensembles fermés s'obtiennent à partir des propriétés montrées pour les ensembles ouverts en utilisant les lois de
(42)
Morgan .
0
Remarque L'intersection d'un nombre infini d'ouverts n'est pas nécessairement un ensemble ouvert. Ce qui ne « marche pas » avec une intersection
infinie dans la démonstration qui a été faite de la proposition 7.9 est que si
l'ensemble I est infini, on doit remplacer r = miniE{l, ... ,n} ri par r = infiEI ri
et r peut alors valoir O. Pour illustrer cette possibilité, on peut de considérer
l'intersection sur N* (qui est un ensemble infini) de toutes les boules ouvertes
de centre 0 et de rayon l/n. On a r = infnEN· � = 0 et n nEN * B(O, �) = {O}
qui est un ensemble fermé.
o
<42>
voir la proposition 2.3 p. 30 du Cours de pœmièœ année.