338
Solutions des exercices
La première intégrale vaut
ln:
[ 1
rr 1 (- l) n
sin(nx) dx = -- cos(nx) ]
= - - -- .
o
n
o
n n
La seconde intégrale se calcule en effectuant une intégration par parties :
ln:
[ X
] rr 1 1 rr
(- l) n 7r
x sin(nx) dx = - - cos(nx) + - cos(nx) dx =
.
0
n
o
n 0
n
On obtient bn = 1 /n pour tout n EN* . La série de Fourier de f est donc
+oo
1
SF(f)(x) = L - sin(nx).
n=l n
Pour calculer les sommes partielles de la série de Fourier SF(f) avec MAPLE,
on peut utiliser la procédure suivante qui pour une fonction f donnée retourne
la somme partielle SF d' ordre N.
FScoef : =proc (f ,N,SF)
local n,aO,a,b;
assume (n : :integer) : additionaly (n>O) :
aO := (1/(2*Pi) ) *int (f (t) ,t=O .. 2*Pi) :
a:= n-> simpl ify((1/Pi)*int(f (t) *cos (n*t) ,t=O .. 2*Pi)):
b:= n-> simp lify((1/Pi) *int(f(t)*sin (n*t) ,t=O .. 2*Pi) ):
SF : =t ->aO+ sum(a(n) *cos (n*t )+b(n) *sin(n*t) ,n=1 .. N) :
end proc :
Pour visualiser les sommes partielles, on peut procéder de la manière suivante.
> f:=x->piecewise (x>-2*Pi and x x>O and x<2*Pi , (1/2) * (x-Pi) );
> for i in [6 ,12,24] do FScoef (f ,i,SF[i] ): od :
> plot ( [f ,SF [6]] , -2*Pi .. 2*Pi , linestyle= [DOT ,SOLID] ) ;
plot ( [f ,SF [12]] , -2*Pi .. 2*Pi ,linestyle= [DOT ,SOLID] );
plot ( [f ,SF [24]] , -2*Pi .. 2*Pi , linestyle= [DOT , SOLID] ) ;