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Définitions et premières propriétés
met 10 - 1 s à couvrir. La tortue a pendant ce temps avancé de 10 - 2 met Achille
met 10 - 3 s à parcourir cette distance. Le temps total que court Achille dans
sa poursuite de la tortue est, en seconde,
+oo
10
1000
T = 10 + 10 -1 + 10 - 2 + . .. = L 100 10- k = 1 - 10- 2 = 99 = 10, 1010 ...
n=O
Achille met donc un peu moins de 11 s pour rattraper la tortue. La tortue aura
au total parcouru une distance, en mètre, de
+oo
- 2
-4
'""" k
1
100
D = 1 + 10 + 10 + · · · = � 10 = l
_ 10 _ 2 = gg = 1, 1010 ...
n=O
avant qu'Achille ne la rejoigne.
2. Montrons que la série L n�2 Un de terme général Un = (
1
) converge et
r
nn- l
que sa somme vaut 1. On a la décomposition en éléments simples c4> suivante
dans JR(X)
1
X(X - 1)
1
1
X - l - x ·
qui permet d'écrire le terme général de la suite des sommes partielles sous la
forme
n
n ( 1 1 ) n - 1 1 n 1 1
Un = L Uk ='°' --- = .L:-- .L:- = 1 --.
� k-l k
k
k
n
k=2
k=2
k=l
k=2
La suite des sommes partielles converge vers 1 et par conséquent la série
L n�2 Un est convergente et a pour somme E�::i Un = 1.
3. La série de terme général Un = (- l ) n � (n E N*) est appelée série harmonique alternée. Elle converge et sa somme vaut - ln(2). Pour tout k EN* on a
en effet Î = f 0 1 t k - l dt, de sorte que le terme général de la suite des sommes
partielles associée à la série harmonique alternée s'écrit :
n ( l ) k
n 1
1 n
Un = L T = - .L: 1 ( - t) k - l dt = - 1 L( -t) k - l dt .
k=l
k= l 0
0 k=l
n
1 - ( - t) n
Or, L ( - t) k - l =
car il s'agit de la somme des n premiers termes
k= l
l+t
d'une progression géométrique c4> de raison - t. On en déduit que :
1 1 1 - ( - t) n
1 1 1 1 1 (-t) n
-
dt = - -- dt + -- dt
0 l+t
0 l+t
0 l+t
- ln(2) + f
1 (-t) n dt.
}0 1 + t
< 4 > Voir le chap. 7 du Cours de première année.