Fonctions complexes de la variable complexe
203
On dit que f est indéfiniment dérivable sur un ouvert U de C si pour tout
n E N* l'application f admet une dérivée n-ième sur U.
Une propriété très particulière des fonctions complexes de la variable complexe
est que si elles sont dérivables sur un ouvert U donné alors elles sont automatiquement indéfiniment dérivables sur cet ouvert. Ce résultat sera précisé dans le
chapitre suivant consacré aux séries entières (voir le théorème 5.6 et ses conséquences). Cette propriété n'est évidement pas vraie pour les fonctions réelles de
la variable réelle. Cette différence s'explique par le fait que pour une fonction
réelle de la variable réelle les deux notions « dérivable » et « différentiable »
coïncident. Comme nous l'avons vu, ce n'est pas le cas pour les fonctions complexes de la variable complexe. La condition « C-dérivable » (i.e. holomorphe)
est plus forte (ou plus contraignante) que la condition « différentiable ».
On a le résultat suivant concernant les propriétés algébriques de la dérivée nième d'une fonction complexe de la variable complexe (résultat qui est du même
type que celui existant pour les fonctions réelles de la variable réelle
c25
» .
PROPOSITION 4.18 Soient U un ouvert non vide de C, À un complexe, f
et g deux applications de U dans C. Si f et g sont holomorphes en zo E U
(resp. sur U ), alors pour tout n E N*,
X f + g admet une dérivée n-ième en zo (resp. sur U) et
X À · f admet une dérivée n-ième en zo (resp. sur U) et
X f x g admet une dérivée n-ième en zo (resp . sur U) et
n
(! X g ) ( n ) (zo) = I: C� j ( k ) (zo) g ( n - k ) (zo) (fo rmule de Leibniz) ;
k=O
X de plus, si g(zo) =/:- 0 (resp. g ne s'annule pas sur U) alors f / g admet une
dérivée n-ième en zo (resp. sur U ).
Démonstration Ces formules se démontrent par récurrence à partir des relations pour la dérivée première, en admettant provisoirement qu'une fonction
holomorphe sur un ouvert U est indéfiniment dérivable sur cet ouvert. La formule donnant l'expression de la dérivée n-ième du quotient f / g en fonction
des dérivées de f et de g est trop compliquée pour être mentionnée. On s'en
convaincra en calculant les premières dérivées.
D
<25> Voir la proposition 16.6 p. 726 du Cours de première année.
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On dit que f est indéfiniment dérivable sur un ouvert U de C si pour tout
n E N* l'application f admet une dérivée n-ième sur U.
Une propriété très particulière des fonctions complexes de la variable complexe
est que si elles sont dérivables sur un ouvert U donné alors elles sont automatiquement indéfiniment dérivables sur cet ouvert. Ce résultat sera précisé dans le
chapitre suivant consacré aux séries entières (voir le théorème 5.6 et ses conséquences). Cette propriété n'est évidement pas vraie pour les fonctions réelles de
la variable réelle. Cette différence s'explique par le fait que pour une fonction
réelle de la variable réelle les deux notions « dérivable » et « différentiable »
coïncident. Comme nous l'avons vu, ce n'est pas le cas pour les fonctions complexes de la variable complexe. La condition « C-dérivable » (i.e. holomorphe)
est plus forte (ou plus contraignante) que la condition « différentiable ».
On a le résultat suivant concernant les propriétés algébriques de la dérivée nième d'une fonction complexe de la variable complexe (résultat qui est du même
type que celui existant pour les fonctions réelles de la variable réelle
c25
» .
PROPOSITION 4.18 Soient U un ouvert non vide de C, À un complexe, f
et g deux applications de U dans C. Si f et g sont holomorphes en zo E U
(resp. sur U ), alors pour tout n E N*,
X f + g admet une dérivée n-ième en zo (resp. sur U) et
X À · f admet une dérivée n-ième en zo (resp. sur U) et
X f x g admet une dérivée n-ième en zo (resp . sur U) et
n
(! X g ) ( n ) (zo) = I: C� j ( k ) (zo) g ( n - k ) (zo) (fo rmule de Leibniz) ;
k=O
X de plus, si g(zo) =/:- 0 (resp. g ne s'annule pas sur U) alors f / g admet une
dérivée n-ième en zo (resp. sur U ).
Démonstration Ces formules se démontrent par récurrence à partir des relations pour la dérivée première, en admettant provisoirement qu'une fonction
holomorphe sur un ouvert U est indéfiniment dérivable sur cet ouvert. La formule donnant l'expression de la dérivée n-ième du quotient f / g en fonction
des dérivées de f et de g est trop compliquée pour être mentionnée. On s'en
convaincra en calculant les premières dérivées.
D
<25> Voir la proposition 16.6 p. 726 du Cours de première année.