Fonctions complexes de la variable complexe
197
D'un point de vue pratique, comme cela est illustré dans les exemples qui
sui vent, pour étudier la différentiabilité d'une fonction complexe de la variable
com plexe f en zo E C, on forme la différence f(zo + h) - f(zo) et on cherche en
général à isoler dans cette expression une partie correspondant à une application
JR-linéaire de C dans C et un terme complémentaire, non linéaire, dont il faut
éta blir qu'il est négligeable au voisinage de 0 devant lhl.
Exemples
1. L'application f : z E C r--+ Im( z) est différentiable sur C puisque pour tous
complexes zo et h on a
f(zo + h) - f ( zo) = Im(h)
et l'application L : h E C r--+ Im(h) est IR-linéaire (on a (a1 ,a 2 ,a3 ,a4) =
(0, 0, 0, 1)). On remarquera que la différentielle en zo E C est l'application f
elle-même : df : z E C r--+ f. On dispose là d'un exemple d'application qui est
différentiable sur C mais qui est holomorphe nulle part, voir p. 194.
2. Montrons que l'application f : z E C r--+ l zl est différentiable sur C*. Soit zo
un complexe non nul de partie réelle x0 et de partie imaginaire y0 ; pour tout
complexe h = h1 + ih 2 non nul on a
f(zo + h) - f(zo)
J(xo + h 1 ) 2 + (Yo + h 2 ) 2 - J x ô + y�
2xoh1 + 2yoh 2 + hf + h§
J (xo + h1) 2 + (Yo + h 2 ) 2 + J x ô + Y�
.
On a une décomposition de la forme f ( zo + h) - f(zo) = L(h) + (h) en posant
(h) = hf + h� + 2xoh1 + 2yoh 2 _ xoh1 + Y oh 2 et L(h) = xoh1 + Y oh 2 .
l zo + hl+ l zol l zo + hl+ l zol
l zol
J x ô + y�
On vérifie que L : h E C r--+ L(h) est IR.-linéaire (on a a1 = Re( zo)/l zol ,
a 2 = Im( zo)/l zol et 0:3 = a4 = 0) et que lim (h)/lhl = O. Ainsi, pour tout
h->O
z E C* on a
df . h ,,..,
Re( zo)Re(h) + Im( z0)Im(h)
zo . E Il,, t--- --+
l zo 1
•
3. L'application f : z E C r--+ l zl n'est pas différentiable en O. En effet si tel
était le cas, il existerait une application linéaire L telle que pour tout complexe
h dans un voisinage de 0 on ait lhl = L(h) + oo(lhl). On aurait alors également
1 - hl = L(-h) + oo( I - hl) autrement dit lhl = -L(h) + oo(lhl), ce qui en
sommant les deux relations impliquerait que 2lhl = oo(lhl). Cela constitue une
contradiction : 2lhl n'est pas négligeable devant lhl.
La proposition suivante indique que toute fonction holomorphe est différentiable. On a déjà vu avec l'application z E C r--+ Im( z), qui est différentiable
sur C mais qui n'est holomorphe nulle part, que la réciproque est fausse. Les
197
D'un point de vue pratique, comme cela est illustré dans les exemples qui
sui vent, pour étudier la différentiabilité d'une fonction complexe de la variable
com plexe f en zo E C, on forme la différence f(zo + h) - f(zo) et on cherche en
général à isoler dans cette expression une partie correspondant à une application
JR-linéaire de C dans C et un terme complémentaire, non linéaire, dont il faut
éta blir qu'il est négligeable au voisinage de 0 devant lhl.
Exemples
1. L'application f : z E C r--+ Im( z) est différentiable sur C puisque pour tous
complexes zo et h on a
f(zo + h) - f ( zo) = Im(h)
et l'application L : h E C r--+ Im(h) est IR-linéaire (on a (a1 ,a 2 ,a3 ,a4) =
(0, 0, 0, 1)). On remarquera que la différentielle en zo E C est l'application f
elle-même : df : z E C r--+ f. On dispose là d'un exemple d'application qui est
différentiable sur C mais qui est holomorphe nulle part, voir p. 194.
2. Montrons que l'application f : z E C r--+ l zl est différentiable sur C*. Soit zo
un complexe non nul de partie réelle x0 et de partie imaginaire y0 ; pour tout
complexe h = h1 + ih 2 non nul on a
f(zo + h) - f(zo)
J(xo + h 1 ) 2 + (Yo + h 2 ) 2 - J x ô + y�
2xoh1 + 2yoh 2 + hf + h§
J (xo + h1) 2 + (Yo + h 2 ) 2 + J x ô + Y�
.
On a une décomposition de la forme f ( zo + h) - f(zo) = L(h) + (h) en posant
(h) = hf + h� + 2xoh1 + 2yoh 2 _ xoh1 + Y oh 2 et L(h) = xoh1 + Y oh 2 .
l zo + hl+ l zol l zo + hl+ l zol
l zol
J x ô + y�
On vérifie que L : h E C r--+ L(h) est IR.-linéaire (on a a1 = Re( zo)/l zol ,
a 2 = Im( zo)/l zol et 0:3 = a4 = 0) et que lim (h)/lhl = O. Ainsi, pour tout
h->O
z E C* on a
df . h ,,..,
Re( zo)Re(h) + Im( z0)Im(h)
zo . E Il,, t--- --+
l zo 1
•
3. L'application f : z E C r--+ l zl n'est pas différentiable en O. En effet si tel
était le cas, il existerait une application linéaire L telle que pour tout complexe
h dans un voisinage de 0 on ait lhl = L(h) + oo(lhl). On aurait alors également
1 - hl = L(-h) + oo( I - hl) autrement dit lhl = -L(h) + oo(lhl), ce qui en
sommant les deux relations impliquerait que 2lhl = oo(lhl). Cela constitue une
contradiction : 2lhl n'est pas négligeable devant lhl.
La proposition suivante indique que toute fonction holomorphe est différentiable. On a déjà vu avec l'application z E C r--+ Im( z), qui est différentiable
sur C mais qui n'est holomorphe nulle part, que la réciproque est fausse. Les