Fo nctions complexes de la variable complexe
Pour n? Non a l u n - zo l :( 1] et par conséquent lf(u n ) - fi :( ê. Ainsi,
Vê E IR� 3N EN Vn EN (n? N => IJ(un) - e1 :( ê))
autrement dit la suite de terme général f(u n ) converge vers e.
185
� Pour montrer la réciproque, raisonnons par l'absurde. Supposons que pour
toute suite (u n ) n convergeant vers zo la suite de terme général f(u n ) converge
vers f et que f n'admette pas pour limite f en Zo et montrons que l'on aboutit
à une contradiction. La négation de l'assertion « f admet pour limite e en Zo »
s'écrit :
Pour cette valeur de ê, en prenant pour 77 des valeurs de la forme l/n où n E N*,
on obtient :
Vn EN 3( n E u (l( n - zol :( � et IJ(( n ) - e1 > ê) .
(1)
On déduit de la condition l( n - zo l :( � que la suite (( n ) n converge vers zo. On
déduit alors de l'assertion (1) en prenant n = N l'assertion suivante :
3ê EIR� VN EN 3n EN (n?N et lf((n)-fl > ê) .
Cette assertion constitue la négation
<21> de l'assertion quantifiée exprimant que
la suite de terme général f(( n ) converge vers e. On dispose donc d'une suite
(( n ) n qui converge vers zo mais pour laquelle la suite de terme général f(( n )
ne converge pas vers e. C'est en contradiction avec nos hypothèses.
0
Remarque Il est difficile en pratique d'utiliser la proposition 4.4 pour établir
qu'une application donnée a une limite en un point z0 ; cela nécessiterait de
considérer toutes les suites complexes convergeant vers z0 et il y en a beaucoup !
Par contre, la proposition 4.4 fournit un moyen pratique pour montrer qu'une
application donnée n'a pas de limite en un point zo. Il suffit d'exhiber deux
suites (u n ) n et (v n ) n convergeant toutes deux vers zo mais pour lesquelles
les deux suites de terme général f(u n ) et f(v n ) convergent vers deux limites
distinctes. De la même manière, si on trouve une suite (u n ) n qui converge
vers zo mais pour laquelle la suite de terme général f(u n ) diverge, on peut
conclure que f n'a pas de limite en zo.
o
Les exemples suivants viennent illustrer cette remarque.
Exemples
1. Montrons en utilisant la proposition 4.4 que quel que soit le complexe z0
l'application
f
If'\{ }
Im(z) - Im(zo)
: z E IL- zo i---+ ---- -z - Zo
<21> Pour la définition la divergence d'une suite, voir le Cours de première année p. 168.
Pour n? Non a l u n - zo l :( 1] et par conséquent lf(u n ) - fi :( ê. Ainsi,
Vê E IR� 3N EN Vn EN (n? N => IJ(un) - e1 :( ê))
autrement dit la suite de terme général f(u n ) converge vers e.
185
� Pour montrer la réciproque, raisonnons par l'absurde. Supposons que pour
toute suite (u n ) n convergeant vers zo la suite de terme général f(u n ) converge
vers f et que f n'admette pas pour limite f en Zo et montrons que l'on aboutit
à une contradiction. La négation de l'assertion « f admet pour limite e en Zo »
s'écrit :
Pour cette valeur de ê, en prenant pour 77 des valeurs de la forme l/n où n E N*,
on obtient :
Vn EN 3( n E u (l( n - zol :( � et IJ(( n ) - e1 > ê) .
(1)
On déduit de la condition l( n - zo l :( � que la suite (( n ) n converge vers zo. On
déduit alors de l'assertion (1) en prenant n = N l'assertion suivante :
3ê EIR� VN EN 3n EN (n?N et lf((n)-fl > ê) .
Cette assertion constitue la négation
<21> de l'assertion quantifiée exprimant que
la suite de terme général f(( n ) converge vers e. On dispose donc d'une suite
(( n ) n qui converge vers zo mais pour laquelle la suite de terme général f(( n )
ne converge pas vers e. C'est en contradiction avec nos hypothèses.
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Remarque Il est difficile en pratique d'utiliser la proposition 4.4 pour établir
qu'une application donnée a une limite en un point z0 ; cela nécessiterait de
considérer toutes les suites complexes convergeant vers z0 et il y en a beaucoup !
Par contre, la proposition 4.4 fournit un moyen pratique pour montrer qu'une
application donnée n'a pas de limite en un point zo. Il suffit d'exhiber deux
suites (u n ) n et (v n ) n convergeant toutes deux vers zo mais pour lesquelles
les deux suites de terme général f(u n ) et f(v n ) convergent vers deux limites
distinctes. De la même manière, si on trouve une suite (u n ) n qui converge
vers zo mais pour laquelle la suite de terme général f(u n ) diverge, on peut
conclure que f n'a pas de limite en zo.
o
Les exemples suivants viennent illustrer cette remarque.
Exemples
1. Montrons en utilisant la proposition 4.4 que quel que soit le complexe z0
l'application
f
If'\{ }
Im(z) - Im(zo)
: z E IL- zo i---+ ---- -z - Zo
<21> Pour la définition la divergence d'une suite, voir le Cours de première année p. 168.