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To pologie du plan complexe
3. L'ensemble {z E C ; Im(z) = O} (autrement dit le sous-ensemble de C
constitué par les nombres réels) a pour intérieur l'ensemble vide et puisqu'il
s'agit d'un ensemble fermé, son adhérence est l'ensemble lui-même.
4.2.3 Arcs géométriques dans le plan complexe
L'étude des courbes dans le plan sera effectuée au chap. 11. L'objectif de cette
partie est de fournir quelques définitions et propriétés concernant les courbes du
plan complexe indispensables pour manipuler la notion de limite d'une fonction
complexe de la variable complexe.
DÉFINITION 4.7 {Arc paramétré dans q
X On appelle arc paramétré (ou chemin) dans C toute application d'un
intervalle I de ffi! à valeurs dans C qui est continue.
X Si est de classe C k sur I, k EN U { +oo }, alors l'arc paramétré est dit de
classe c k .
DÉFINITION 4.8 {Changement de paramètre)
Soient I et J deux intervalles et k E N U { +oo}. Deux arcs paramétrés
E c 0 (J, q et 'l/J E c 0 (J, q sont dits C k -équivalents s'il existe une application bijective (} de I dans J qui est de classe C k sur I e l 11' dont la bijection
réciproque () -l est de classe c k sur J, telle que
On dit alors que se déduit de 'l/J par changement de paramètre (}.
Exemple Montrons que les deux arcs paramétrés
: t E]O, n[.-. eit et · 'l/J: t E] - 1, 1[� t + i/l'=t2
représentés à la figure 4 sont C00-équivalents
(n) = - 1
(O) = 1 'l/1(- 1) = - 1
Fig. 4 Représentation de deux arcs paramétrés dans IC.
(Il) Une telle application est appelée un c k -diffêomorphisme de 1 sur J, voir p. 664.
To pologie du plan complexe
3. L'ensemble {z E C ; Im(z) = O} (autrement dit le sous-ensemble de C
constitué par les nombres réels) a pour intérieur l'ensemble vide et puisqu'il
s'agit d'un ensemble fermé, son adhérence est l'ensemble lui-même.
4.2.3 Arcs géométriques dans le plan complexe
L'étude des courbes dans le plan sera effectuée au chap. 11. L'objectif de cette
partie est de fournir quelques définitions et propriétés concernant les courbes du
plan complexe indispensables pour manipuler la notion de limite d'une fonction
complexe de la variable complexe.
DÉFINITION 4.7 {Arc paramétré dans q
X On appelle arc paramétré (ou chemin) dans C toute application d'un
intervalle I de ffi! à valeurs dans C qui est continue.
X Si est de classe C k sur I, k EN U { +oo }, alors l'arc paramétré est dit de
classe c k .
DÉFINITION 4.8 {Changement de paramètre)
Soient I et J deux intervalles et k E N U { +oo}. Deux arcs paramétrés
E c 0 (J, q et 'l/J E c 0 (J, q sont dits C k -équivalents s'il existe une application bijective (} de I dans J qui est de classe C k sur I e l 11' dont la bijection
réciproque () -l est de classe c k sur J, telle que
On dit alors que se déduit de 'l/J par changement de paramètre (}.
Exemple Montrons que les deux arcs paramétrés
: t E]O, n[.-. eit et · 'l/J: t E] - 1, 1[� t + i/l'=t2
représentés à la figure 4 sont C00-équivalents
(n) = - 1
(O) = 1 'l/1(- 1) = - 1
Fig. 4 Représentation de deux arcs paramétrés dans IC.
(Il) Une telle application est appelée un c k -diffêomorphisme de 1 sur J, voir p. 664.