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To pologie du plan complexe
Fig. 3 Exemple d'ensemble Z borné dans C.
DÉFINITION 4.4 On dit qu 'un sous-ensemble Z de C est borné s'il existe un
élément z0 dans la boule fermée B(z0 , r), i.e. si '8J
Remarques
3zo E C 3r E JR + Vz E Z l z - zo l � r.
1. D'après la définition 4.4, un sous-ensemble Z de C n'est pas borné si
Vzo E r.
2. Dans C, un ensemble qui est fermé et borné est qualifié de compact.
o
Exemples
1. Il résulte de la définition 4.4 que toute boule, ouverte ou fermée, dans C est
un ensemble borné.
2. Un ensemble fini Z = { (1 , ... , (n } est borné. En effet, en prenant zo = 0 et
r = max{ l (1 I, ... , l(n l }, pour tout z E Zona l z l � max{ l (1 I , ... , l(n l } = r.
3. L'ensemble C n'est pas borné car pour tout zo E complexe z= zo + r + 1 est tel que l z - zo l = /r +li > r.
4.2.2 Intérieur et adhérence d'un ensemble
DÉFINITION 4.5 (Intérieur)
Soient Z un sous-ensemble non vide de C et zo E point intérieur à Z s'il existe une boule ouverte de centre zo qui soit incluse
dans Z, i.e. si
3r E IR� D(zo, r) c Z.
0
L'ensemble des points intérieurs à Z est noté Int ( Z) ou Z et est appelé intérieur de Z.
(S) On obtient une définition similaire en considérant une boule ouverte au lieu d'une boule
fermée. Par ailleurs, l'inégalité triangulaire permet de vérifier que la propriété d'être
bornée ne dépend pas du choix de zo.