Séries de fonctions
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THÉORÈME 3.1
)(Si une série d'applications L n fn de X dans � converge absolument sur X
alors elle converge simplement sur X.
)(Si une série d'applications L n fn de X dans � converge uniformément
sur X alors elle converge simplement sur X.
Démonstration La première assertion résulte des propriétés des séries numériques. La série d'applications L n fn de X dans � converge absolument sur X
si pour tout x E X, la série numérique L n fn (x) converge absolument. Or,
d'après la proposition 1.11 p. 29, si la série numérique L n fn (x) converge absolument alors la série numérique L n fn (x) converge. D'après la définition 3.2,
cela signifie que la série d'applications L n fn converge simplement sur X.
La seconde assertion est une conséquence du théorème 2.1 p. 78 qu'il suffit
d'appliquer à la suite (ef>n)n de terme général ef>n = L � =O f k ·
D
Remarque Quel que soit le type de convergence (simple, absolue, uniforme)
d'une série d'applications, la somme de la série est la même. Par ailleurs, si
L n f n est une série d'applications de X dans � et si Y est un sous-ensemble
de X, on dit que la série L n fn converge simplement (resp. absolument ou
uniformément) sur Y si la série d'applications de Y dans � dont le terme général
f n i Y est la restriction à l'ensemble Y de l'application fn converge simplement
(resp. absolument ou uniformément) .
o
En appliquant la proposition 2.3 p. 79 à la suite (ef>n)n de terme général
ef>n = LZ =o fk , on obtient le résultat suivant.
PROPOSITION 3.6 Soient L n f n et L n 9n deux séries d'applications de X
dans � convergeant simplement (resp . uniformément) sur X, de somme les
applications if> et 1/J de X dans R
X La série d'applications de terme général f n + g11 converge simplement (resp .
uniformément) sur X et a pour somme if>+ 'l/J.
X Pour tout >. E �' la série d'applications de terme général >. · f n converge
simplement (resp . uniformément) sur X et a pour somme >.· if>.
Par définition, la série d'applications L n f n de X dans � converge uniformément sur X si et seulement si la suite d'applications de terme général
ef>n = L � =O f k converge uniformément sur X. Le théorème 2.2 p. 82 appliqué
à la suite (ef>n)n fournit le résultat suivant appelé critère de Cauchy uniforme
pour les séries d'applications.
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THÉORÈME 3.1
)(Si une série d'applications L n fn de X dans � converge absolument sur X
alors elle converge simplement sur X.
)(Si une série d'applications L n fn de X dans � converge uniformément
sur X alors elle converge simplement sur X.
Démonstration La première assertion résulte des propriétés des séries numériques. La série d'applications L n fn de X dans � converge absolument sur X
si pour tout x E X, la série numérique L n fn (x) converge absolument. Or,
d'après la proposition 1.11 p. 29, si la série numérique L n fn (x) converge absolument alors la série numérique L n fn (x) converge. D'après la définition 3.2,
cela signifie que la série d'applications L n fn converge simplement sur X.
La seconde assertion est une conséquence du théorème 2.1 p. 78 qu'il suffit
d'appliquer à la suite (ef>n)n de terme général ef>n = L � =O f k ·
D
Remarque Quel que soit le type de convergence (simple, absolue, uniforme)
d'une série d'applications, la somme de la série est la même. Par ailleurs, si
L n f n est une série d'applications de X dans � et si Y est un sous-ensemble
de X, on dit que la série L n fn converge simplement (resp. absolument ou
uniformément) sur Y si la série d'applications de Y dans � dont le terme général
f n i Y est la restriction à l'ensemble Y de l'application fn converge simplement
(resp. absolument ou uniformément) .
o
En appliquant la proposition 2.3 p. 79 à la suite (ef>n)n de terme général
ef>n = LZ =o fk , on obtient le résultat suivant.
PROPOSITION 3.6 Soient L n f n et L n 9n deux séries d'applications de X
dans � convergeant simplement (resp . uniformément) sur X, de somme les
applications if> et 1/J de X dans R
X La série d'applications de terme général f n + g11 converge simplement (resp .
uniformément) sur X et a pour somme if>+ 'l/J.
X Pour tout >. E �' la série d'applications de terme général >. · f n converge
simplement (resp . uniformément) sur X et a pour somme >.· if>.
Par définition, la série d'applications L n f n de X dans � converge uniformément sur X si et seulement si la suite d'applications de terme général
ef>n = L � =O f k converge uniformément sur X. Le théorème 2.2 p. 82 appliqué
à la suite (ef>n)n fournit le résultat suivant appelé critère de Cauchy uniforme
pour les séries d'applications.