Séries de fonctions
suivantes pour tout n EN* et pour tout x E] - �, O[U)O, �[ :
n
n
l
L fk (x) = L 2 k tan (;)
k=O
k=O
= tan(x) + � (
2
1
k cotan (;) -
2 L 1 cotan (
2 k
x
_ 1 ))
n
l
n - 1
l
tan(x) + L 2 k cotan (;) - L 2 k cotan (;)
k=I
k=O
117
= tan(x) +�cotan (�) - cotan(x).
( 2 )
2 n
2 n
L'équivalent tan(u) rv u permet d'obtenir que pour tout x E] - �,O[U)O, �[,
0
1
(
X
)
1
1
2 n cotan
2 n =
2 n tan ( 2 ";. ) n-+ f. oo ;;- ·
On en déduit que pour tout x E] - �, O[U]O, � [,
lim n-+ +oo
X
Comme de plus, pour tout n EN, on a fn (O) = 0, la suite numérique ( converge vers O. On en conclut que la suite d'applications ( ( "' . ] - � � [
{ tan(x) + l/x - cotan(x)
'f'·XE
2' 2 �
0
si X tf Ü
si X= Ü
5. La série d'applications L n fn de terme général fn : x f-+ ne- n x converge
simplement sur JR+. En effet, comme pour tout x E JR+ la quantité
fn + 1 (x)
n+l
- x
fn (x)
=
-n -
e
admet pour limite e- x quand n tend vers +oo et comme e-x < 1 pour x E IR'.f_ ,
le critère de D'Alembert assure la convergence de la série numérique L n ne- n x
pour tout x E JR+. Remarquons qu'il y a divergence grossière sur IR- car pour
tout x E IR- on a limn -++oo ne- n x = +oo. Nous montrerons ultérieurement la
somme de cette série d'applications est