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Solutions des exercices
b) L'application f n est dérivable sur IR\ { 1} car c'est le produit de la fonction
rationnelle x 1-+ i � x dont le seul pôle est 1 par la fonction x 1-+ ne- x ln(n) - 1
qui est dérivable sur IR car la fonction exponentielle est dérivable sur R Par
ailleurs, l'application f n admettant en 1 un développement limité d'ordre 1,
elle est dérivable
<37> en 1 et
f� (l) = -� ln 2 (n).
On en conclut que f n est dérivable sur IR, et par cc;mséquent continue sur R
Pour x E IR\ {1}, on a
f� (x) = - (x � 1)2
+ (x -1
1
)n x - i ( ln(n) + x � l ) ·
c) L'application f n est de classe c i sur IR si f� est continue sur R Sur
IR\ {1}, l'application f� est continue car d'une part les fonctions rationnelles
x 1-+ i � x et x 1-+ ( i _!' x)2 , qui possèdent pour unique pôle 1, sont continues sur
IR\ {1} et d'autre part la fonction x 1-+ ne- x l n( n ) est continue sur IR car la
fonction exponentielle est continue sur IR. Il reste à établir que f � est continue
en 1. On a vu que :
1
n x - i = exp((l - x) ln(n)) = 1 + (1 - x) ln(n) + ! (1 - x) 2 ln(n) 2 + oi ((1 - x) 2 ).
On en déduit que :
f� (x) = - (
1
)2
+
�
l
(1n(n) + -
1 -) x (1 + (1 - x) ln(n)+
x-l
x -
x-l
! (1 - x) 2 ln(n) 2 + oi ((l - x) 2 ))
Cela implique que lim x _,i f� (x) = -! ln(n) 2 = f� (l), et par conséquent que f�
est continue en 1. On en conclut que f n est de classe c i sur IR.
3 - Pour x > 1 on a limn_,+00 exp((l - x) ln(n)) = 0 et pour x < 1 on a
limn_,+00 exp((l - x) ln(n)) = +oo. Par ailleurs, pour x > 1 on a
lim ln(n) exp((l - x) ln(n)) = lim p exp((l - x)p) = O.
n -++oo
p-++oo
On déduit de l'expression de f� (x) que la suite numérique de terme général f� (x) converge si et seulement si x > 1. Sa limite est - (x _: i )2 . Cela signifie que la suite de fonctions (f�)n converge simplement sur ]1, +oo[ vers
g: X E]l, +00[1-+ - (x _: i ) 2 .
<37> Voir la proposition 17.3 p. 776 du Cours de p1·emillre année.