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Solutions des exercices
b) Considérons le changement de variable défini par l'application
et en vertu de la formule de changement de variable pour une intégrale <361 on
obtient
�
ln = { fn (t) dt = { fn ( j l o
l :!f (1 - sin 2 (B)) y'ncos(B) dB = y'n l:!f cos 2 n + l (B) dB.
Pour montrer que ln = y'n g:�i)� , procédons par récurrence. La relation est
vraie pour n = 1 puisque
2
3
l?n �1\2
22
2
et si n = 1 alors y'n � = 3 1 = 3. Supposons, c'est notre hypothèse de
récurrence, que ln = y'n g:�i)) � . En intégrant par parties, on obtient :
ln + l
../n + 1 fo !f cos 2 n + 3 (B) dB
= ..;n+l (2n + 2) {
� cos 2 n + l (B) sin 2 (B) dB
l o
'-..- -"
=l-cos2 (9)
../n + 1 (2n + 2) ( )nln - kln +i ) ·
On en déduit que
/n+l 2n + 2
..;n+1
2
(2 n n!) 2
ln + l = V -;;;- 2n + 3 ln = n + 1(2n + 2) (2n + 1)! (2n + 2)(2n + 3)
(2 n + l (n + 1)!) 2
= vn + 1 (2n + 3)!
La relation est démontrée pour l'entier n + 1. On déduit de ce raisonnement
par récurrence que pour tout n E N* on a ln = y'ng:�;)�.
<361 Voir le théorême 18.2 p. 863 du Cours de premiére année.