Suites de fonctions
93
Démonstration Nous allons montrer que la suite Un )n converge simplement
sur I vers l'application f définie par :
f(x) = e +
1.x
g(t) dt
XQ
(16)
où e = limn .... . +oo f n(xo). D'après la théorème 2.4, l'application g qui est limite
d'une suite d'applications Riemann-intégrables sur I convergeant uniformément
sur I est Riemann-intégrable sur I. Par conséquent, pour tout x E I l'applicatfon g est Riemann-intégrable sur [xo, x] et la relation (16) a bien un sens.
(2 4 )
Jx
Pour tout x E I et pour tout n E N, on a : fn (x) = fn (xo) + x o f� (t) dt.
On en déduit, compte tenu de la relation (16), qile
lf(x) - fn (x) I � If - fn (xo) I + 1 1: g(t) dt -1: f� (t) I · (17)
Soit X E I; puisque pour tout n E N l'application f n est de classe c i sur I,
f� est une application continue sur l'intervalle c2s> [xo, x] . Elle est par conséquent Riemann-intégrable sur [x0 , x] . Par ailleurs, la suite d'applications (J�)n
converge uniformément sur I vers l'application g. On en déduit que sur [xo, x] la
suite (J�)n converge uniformément vers la restriction de g à l'intervalle [xo, x] .
D'après le théorème 2.4, sur l'intervalle [xo, x] l'application g est intégrable et
1.x
1.x
1.x
lim
f� (t) dt=
lim f� (t) dt =
g(t) dt.
n ->+oo x o
x o n ->+oo
x o
(18)
Puisque f = limn_, + 00 f n (xo ) , la relation (18) combinée à (17) permet de
conclure que limn .... . +oo lf(x) - fn (x)I = 0 et par conséquent que la suite Un )n
converge simplement sur I vers l'application f définie par la relation (16). La
relation (16) indique que f est une primitive de g sur I donc que f est dérivable sur I avec f ' = g. Comme g est continue sur I (c'est la limite uniforme
d'une suite d'applications continues, voir le théorème 2.3), l'application f est
de classe C 1 sur J.
0
Il apparaît dans la démonstration que l'on peut affaiblir la seconde hypothèse
du théorème. Il suffit que la suite (J�)n converge simplement sur I et converge
uniformément sur tout intervalle fermé borné (autrement dit compact) inclus
dans I. On peut aussi affaiblir l'hypothèse de régularité c i des applications f n ·
Si les applications fn sont uniquement supposées dérivables sur I, alors on peut
montrer que la suite Un )n converge simplement sur I vers une application f
qui est dérivable sur I et qui admet pour dérivée f ' = g. On a le théorème
suivant que nous admettrons.
< 2 • > Voir la section 18.3.1 p. 847 du Cours de première année.
< 2 5 > On commet ici un abus de notation : il s'agit de l'intervalle [xo, x] pour x > xo et de
l'intervalle [x, xo] pour x < xo.
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Démonstration Nous allons montrer que la suite Un )n converge simplement
sur I vers l'application f définie par :
f(x) = e +
1.x
g(t) dt
XQ
(16)
où e = limn .... . +oo f n(xo). D'après la théorème 2.4, l'application g qui est limite
d'une suite d'applications Riemann-intégrables sur I convergeant uniformément
sur I est Riemann-intégrable sur I. Par conséquent, pour tout x E I l'applicatfon g est Riemann-intégrable sur [xo, x] et la relation (16) a bien un sens.
(2 4 )
Jx
Pour tout x E I et pour tout n E N, on a : fn (x) = fn (xo) + x o f� (t) dt.
On en déduit, compte tenu de la relation (16), qile
lf(x) - fn (x) I � If - fn (xo) I + 1 1: g(t) dt -1: f� (t) I · (17)
Soit X E I; puisque pour tout n E N l'application f n est de classe c i sur I,
f� est une application continue sur l'intervalle c2s> [xo, x] . Elle est par conséquent Riemann-intégrable sur [x0 , x] . Par ailleurs, la suite d'applications (J�)n
converge uniformément sur I vers l'application g. On en déduit que sur [xo, x] la
suite (J�)n converge uniformément vers la restriction de g à l'intervalle [xo, x] .
D'après le théorème 2.4, sur l'intervalle [xo, x] l'application g est intégrable et
1.x
1.x
1.x
lim
f� (t) dt=
lim f� (t) dt =
g(t) dt.
n ->+oo x o
x o n ->+oo
x o
(18)
Puisque f = limn_, + 00 f n (xo ) , la relation (18) combinée à (17) permet de
conclure que limn .... . +oo lf(x) - fn (x)I = 0 et par conséquent que la suite Un )n
converge simplement sur I vers l'application f définie par la relation (16). La
relation (16) indique que f est une primitive de g sur I donc que f est dérivable sur I avec f ' = g. Comme g est continue sur I (c'est la limite uniforme
d'une suite d'applications continues, voir le théorème 2.3), l'application f est
de classe C 1 sur J.
0
Il apparaît dans la démonstration que l'on peut affaiblir la seconde hypothèse
du théorème. Il suffit que la suite (J�)n converge simplement sur I et converge
uniformément sur tout intervalle fermé borné (autrement dit compact) inclus
dans I. On peut aussi affaiblir l'hypothèse de régularité c i des applications f n ·
Si les applications fn sont uniquement supposées dérivables sur I, alors on peut
montrer que la suite Un )n converge simplement sur I vers une application f
qui est dérivable sur I et qui admet pour dérivée f ' = g. On a le théorème
suivant que nous admettrons.
< 2 • > Voir la section 18.3.1 p. 847 du Cours de première année.
< 2 5 > On commet ici un abus de notation : il s'agit de l'intervalle [xo, x] pour x > xo et de
l'intervalle [x, xo] pour x < xo.