Introduction
Ce Cours de mathématiques de deuxième année est structuré en quatre
parties, la première consacrée aux séries, la deuxième aux espaces vectoriels normés et à l'algèbre bilinéaire, la troisième au calcul différentiel pour les fonctions
de plusieurs variables réelles et la dernière à l'intégration dans le plan et dans
l'espace. La partie ayant trait aux séries est organisée de la façon suivante.
Nous commençons par un chapitre consacré aux séries numériques à termes
réels ou complexes. Ce chapitre s'appuie fortement sur le cours de première
année consacré aux suites numériques. Les deux chapitres suivants concernent
les suites et les séries de fonctions. Nous avons choisi de ne considérer dans
un premier temps que les fonctions réelles de la variable réelle, repoussant
momentanément l'étude des suites et séries de fonctions complexes de la variable complexe. Ce parti pris est guidé par le souci de ne pas multiplier les
notions nouvelles dans un même chapitre. Le chapitre 4 est lui consacré exclusivement aux fonctions complexes de la variable complexe. On y introduit les
notions nouvelles de limite, de continuité et de dérivabilité et on y apporte des
compléments aux chapitres consacrés aux suites et séries de fonctions. Afin de
manipuler les notions liées aux fonctions complexes de la variable complexe, le
chapitre 5 est consacré aux séries entières complexes. Les séries entières réelles
sont évoquées en insistant sur les propriétés qui diffèrent des séries entières
complexes. Le dernier chapitre de cette partie traite des séries de Fourier.
La deuxième partie du cours, constituée des chapitres 7 et 8, est consacrée
aux notions d'espace métrique, d'espace vectoriel normé et d'espace euclidien.
Nous avons fait le choix d'introduire le concept général de distance et d'espace
métrique plutôt que de se restreindre à celui de norme et d'espace vectoriel
normé compte tenu de son caractère plus général sans que cela ne se traduise
par des difficultés d'assimilation supplémentaires des notions introduites. La
première partie du chapitre 7 est consacrée à généraliser dans le cadre d'un
espace métrique un certain nombre de notions de topologie énoncées préalablement dans le cas de la droite réelle ( cours de première année ) et dans le cas du
plan complexe ( chapitre 4) . L'accent est mis sur les notions de topologie directement utiles dans la suite du cours pour introduire de façon claire et précise
les théorèmes du calcul différentiel. La seconde partie du chapitre 7 est consacrée à préciser la notion de suite dans un espace métrique en insistant sur la
notion de complétude d'un espace métrique et en faisant le lien avec différentes
notions topologiques. Le chapitre 8, au contenu assez dense, regroupe des notions relevant de l'algèbre bilinéaire dans le cadre des espaces vectoriels réels.
On introduit les notions de forme bilinéaire et de forme quadratique, insistant
sur la représentation matricielle d'une forme bilinéaire en dimension finie et
mettant en parallèle cette vision matricielle avec celle présentée en première
Ce Cours de mathématiques de deuxième année est structuré en quatre
parties, la première consacrée aux séries, la deuxième aux espaces vectoriels normés et à l'algèbre bilinéaire, la troisième au calcul différentiel pour les fonctions
de plusieurs variables réelles et la dernière à l'intégration dans le plan et dans
l'espace. La partie ayant trait aux séries est organisée de la façon suivante.
Nous commençons par un chapitre consacré aux séries numériques à termes
réels ou complexes. Ce chapitre s'appuie fortement sur le cours de première
année consacré aux suites numériques. Les deux chapitres suivants concernent
les suites et les séries de fonctions. Nous avons choisi de ne considérer dans
un premier temps que les fonctions réelles de la variable réelle, repoussant
momentanément l'étude des suites et séries de fonctions complexes de la variable complexe. Ce parti pris est guidé par le souci de ne pas multiplier les
notions nouvelles dans un même chapitre. Le chapitre 4 est lui consacré exclusivement aux fonctions complexes de la variable complexe. On y introduit les
notions nouvelles de limite, de continuité et de dérivabilité et on y apporte des
compléments aux chapitres consacrés aux suites et séries de fonctions. Afin de
manipuler les notions liées aux fonctions complexes de la variable complexe, le
chapitre 5 est consacré aux séries entières complexes. Les séries entières réelles
sont évoquées en insistant sur les propriétés qui diffèrent des séries entières
complexes. Le dernier chapitre de cette partie traite des séries de Fourier.
La deuxième partie du cours, constituée des chapitres 7 et 8, est consacrée
aux notions d'espace métrique, d'espace vectoriel normé et d'espace euclidien.
Nous avons fait le choix d'introduire le concept général de distance et d'espace
métrique plutôt que de se restreindre à celui de norme et d'espace vectoriel
normé compte tenu de son caractère plus général sans que cela ne se traduise
par des difficultés d'assimilation supplémentaires des notions introduites. La
première partie du chapitre 7 est consacrée à généraliser dans le cadre d'un
espace métrique un certain nombre de notions de topologie énoncées préalablement dans le cas de la droite réelle ( cours de première année ) et dans le cas du
plan complexe ( chapitre 4) . L'accent est mis sur les notions de topologie directement utiles dans la suite du cours pour introduire de façon claire et précise
les théorèmes du calcul différentiel. La seconde partie du chapitre 7 est consacrée à préciser la notion de suite dans un espace métrique en insistant sur la
notion de complétude d'un espace métrique et en faisant le lien avec différentes
notions topologiques. Le chapitre 8, au contenu assez dense, regroupe des notions relevant de l'algèbre bilinéaire dans le cadre des espaces vectoriels réels.
On introduit les notions de forme bilinéaire et de forme quadratique, insistant
sur la représentation matricielle d'une forme bilinéaire en dimension finie et
mettant en parallèle cette vision matricielle avec celle présentée en première